Времена первого прохождения

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, и пусть $X(t) = \exp \left\{ i \theta W(t)+\frac{1}{2} \theta^{2} t\right\}$, где $i = \sqrt{-1}$. Покажите, что $X$ — мартингал относительно фильтрации, заданной как $\mathcal{F}_{t} = \sigma (\left\{ W(u): u \leq t\right\} )$.

Пусть $T$ — (случайный) момент, в который стандартный винеровский процесс $W$ достигает «барьера» в пространстве-времени, заданного $y = a t+b$, где $a \leq 0$ и $b > 0$; то есть $T = \inf \left\{ t: W(t) = a t+b\right\}$. Используя результат Упражнения (13.4.1), покажите, что функция плотности $T$ имеет преобразование Лапласа, заданное как

Можете считать, что условия теоремы об опциональной остановке выполнены.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, и пусть $T$ — момент последнего нуля $W$ до момента $t$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(T \leq u\right) = (2 / \pi ) \sin^{-1} \sqrt{u / t}$ при $0 \leq u \leq t$.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые стандартные винеровские процессы, так что $(X, Y)$ — плоский винеровский процесс. Покажите, что значение $Y$ в момент первого достижения $X$ уровня $x > 0$ имеет распределение Коши с плотностью $f(y) = x /\left[\pi \left(x^{2}+y^{2}\right)\right]$.

Пусть $D(t) = W(t)-a t$, где $W$ — стандартный винеровский процесс, а $a \leq 0$ — параметр сноса. Используя результат Упражнения (13.4.2), покажите, что функция плотности момента первого достижения точки $b > 0$ процессом $D$ равна

Покажите, что стандартный винеровский процесс $W(t)$ и его процесс максимума $M(t) = \sup \left\{ W(s): 0 \leq s \leq t\right\}$ удовлетворяют

где $\Phi$ — функция распределения $N(0,1)$.

Найдите функцию плотности $\sqrt{T(x)}$, где $T(x)$ — момент первого достижения точки $x$ стандартным винеровским процессом. Покажите, что она совпадает с плотностью $1 /\left|Z\right|$ для подходящей нормально распределённой случайной величины $Z$.

Покажите, что $T(x)$ имеет то же распределение, что и $T(1) x^{2}$, и выведите, что процесс $\left\{ T(x): x \geq 0\right\}$ самоподобен. Отсюда, или иным способом, покажите, что $T(x)$ имеет устойчивое распределение с показателем $\frac{1}{2}$. [См. Feller 1971, с. 174.]

Диффузионное приближение Феллера для ветвящегося процесса, снова к Примеру (13.3.12).

Пусть $X = \left\{ X(t): t \geq 0\right\}$ — диффузионная модель из Примера (13.3.12) с $X(0) = x > 0$, и с мгновенным средним и дисперсией $a x$ и $b x$, где $a < 0$ и $b > 0$. Пусть $Y = \int_{0}^{T} X(u) d u$ — интегрированный размер накопленной популяции до момента вымирания $T = \inf \left\{ t \geq 0: X(t) = 0\right\}$. Покажите, что производящая функция моментов $m(x, \psi ) = \mathbb {E}_{x}\left[e^{-\psi Y}\right]$ удовлетворяет

Выведите, что $Y$ имеет распределение типа «первого достижения», как в Упражнении (13.4.2), и укажите, какое именно.