Неограниченные операторы

Если $A$, $B$ и $AB$ — плотно определённые линейные операторы, покажите, что $(AB)^* \supseteq B^*A^*$.

Пусть $e_0, e_1, \ldots$ — ортонормированный базис в $\mathcal{H}$, и пусть $\alpha_0, \alpha_1, \ldots$ — комплексные числа. Определим

и пусть $Ah = \sum_{n=0}^{\infty } \alpha_n \left\langle h, e_n \right\rangle e_n$ для $h$ из $\mathcal{D}$. Проверьте, что $A \in \mathcal{C}(\mathcal{H})$ с $\operatorname {dom} A = \mathcal{D}$, что $\operatorname {dom} A^* = \mathcal{D}$, и что $A^*h = \sum_{n=0}^{\infty } \overline{\alpha_n} \left\langle h, e_n \right\rangle e_n$ для всех $h$ из $\mathcal{D}$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное измеримое пространство, и пусть $\phi : X \to \mathbb {C}$ — $\Omega$-измеримая функция. Пусть $\mathcal{D} = \left\{ f \in L^2(\mu ) : \phi f \in L^2(\mu )\right\}$, и определим $Af = \phi f$ для всех $f$ из $\mathcal{D}$. Проверьте, что $A \in \mathcal{C}(L^2(\mu ))$, что $\operatorname {dom} A^* = \mathcal{D}$, и что $A^*f = \overline{\phi } f$ для $f$ из $\mathcal{D}$.

Определите неограниченный взвешенный сдвиг и найдите его сопряжённый.

Пусть $\mathcal{D}$ — множество всех функций $f : [0,1] \to \mathbb {C}$, абсолютно непрерывных, с $f' \in L^2(0,1)$, и таких, что $f(0) = f(1) = 0$. Определим $A : L^2(0,1) \to L^2(0,1)$ формулой $Af = if'$ для $f$ из $\mathcal{D}$.

Проверьте, что $\mathcal{D}$ плотно в $L^2(0,1)$, что $A \in \mathcal{C}(L^2(0,1))$, и что $\operatorname {dom} A^* = \left\{ g : g \text{ абсолютно непрерывна на } [0,1], \, g' \in L^2(0,1)\right\}$, причём $A^*g = ig'$ для $g$ из $\operatorname {dom} A^*$.

Если $\mathcal{H}$ бесконечномерно, покажите, что существует линейный оператор $A : \mathcal{H} \to \mathcal{H}$ такой, что $\operatorname {gra} A$ плотен в $\mathcal{H} \oplus \mathcal{H}$. Что это говорит об $\operatorname {dom} A^*$? (См. Lindsay [1984].)

Пусть $\mathcal{D}$ — множество абсолютно непрерывных функций $f$ таких, что $f' \in L^2(0,1)$. Пусть $Df = f'$ для $f$ из $\mathcal{D}$, и пусть $(Af)(x) = xf(x)$ для $f$ из $L^2(0,1)$. Покажите, что $DA - AD \subseteq 1$.

Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей, покажите, что не существует элементов $a, b$ в $\mathcal{A}$ таких, что $ab - ba = 1$.

Пусть $A \in \mathcal{C}(\mathcal{H})$. Докажите:

Определим $A : L^2(\mathbb {R}) \to L^2(\mathbb {R})$ формулой $(Af)(x) = \exp (-x^2) f(x-1)$ для всех $f$ из $L^2(\mathbb {R})$.

Если $A \in \mathcal{C}(\mathcal{H})$, покажите, что $A^*A \in \mathcal{C}(\mathcal{H})$. Покажите, что $-1 \notin \sigma (A^*A)$, и что если $B = (1 + A^*A)^{-1}$, то $\left\| B\right\| \leq 1$.

Если $B$ — ограниченный оператор, полученный в упражнении 11, покажите, что $C = AB$ также ограничен и $\left\| C\right\| \leq 1$.

Если $A$ — самосопряжённый оператор, то $\lambda \in \rho (A)$ тогда и только тогда, когда $A - \lambda$ сюръективен.

Если $A$ симметричен, покажите, что все собственные значения $A$ вещественны.

Если $A$ симметричен, а $\lambda , \mu$ — различные собственные значения, покажите, что $\ker (A - \lambda ) \perp \ker (A - \mu )$.

Покажите, что замыкание симметричного оператора симметрично.

Пусть $\mathcal{D} = \left\{ f \in L^2(0, \infty ) : \text{для каждого } c > 0 \, f \text{ абсолютно непрерывна на } [0, c], \, f(0) = 0, \text{ и } f' \in L^2(0, \infty )\right\}$. Определим $Af = if'$ для $f$ из $\mathcal{D}$. Покажите, что $A$ — плотно определённый замкнутый оператор, и найдите $\operatorname {dom} A^*$. Покажите, что $A$ симметричен с индексами дефекта $n_+ = 0$ и $n_- = 1$.

Пусть $\mathcal{E} = \left\{ f \in L^2(-\infty , 0) : \text{для каждого } c < 0 \, f \text{ абсолютно непрерывна на } [c, 0], \, f(0) = 0, \text{ и } f' \in L^2(-\infty , 0)\right\}$. Определим $Af = if'$ для $f$ из $\mathcal{E}$. Покажите, что $A$ — плотно определённый замкнутый оператор, и найдите $\operatorname {dom} A^*$. Покажите, что $A$ симметричен с индексами дефекта $n_+ = 1$, $n_- = 0$.

Если $k, l$ — произвольные неотрицательные целые числа или $\infty$, покажите, что существует замкнутый симметричный оператор $A$ с $n_+ = k$ и $n_- = l$.

Пусть $C_c^{(2)}(0,1)$ — множество всех дважды непрерывно дифференцируемых функций на $(0,1)$ с компактным носителем, и пусть $Af = -f''$ для $f$ из $C_c^{(2)}(0,1)$. Покажите, что замыкание $A$ — плотно определённый симметричный оператор, и определите все его самосопряжённые расширения.

Если $A \in \mathcal{C}(\mathcal{H})$, покажите, что $A^*A$ самосопряжён (см. упражнение 1.11).

Будем говорить, что оператор $A$ положителен, если $\left\langle Ah, h \right\rangle \geq 0$ для всех $h$ из $\operatorname {dom} A$. Докажите, что если $A$ положителен и самосопряжён, то $\sigma (A) \subseteq [0, \infty )$. Если предполагается лишь, что $A$ замкнут и положителен, покажите, что это заключение может не выполняться.

(Lasser [1972]) Пусть $\mathcal{M}$ — плотное линейное многообразие в $\mathcal{H}$, и пусть $\mathcal{A}$ состоит из всех линейных преобразований $A$ таких, что $\operatorname {dom} A = \mathcal{M}$, $A\mathcal{M} \subseteq \mathcal{M}$, сопряжённый к $A$ существует, $\mathcal{M} \subseteq \operatorname {dom} A^*$, и $A^*\mathcal{M} \subseteq \mathcal{M}$. Докажите, что $A \mapsto A^*\rvert \mathcal{M}$ задаёт инволюцию на $\mathcal{A}$.

Если $U$ — частичная изометрия, покажите, что следующие утверждения эквивалентны:

1. $\ker (1 - U) = (0)$;

2. $\ker (1 - U^*) = (0)$;

3. $\operatorname {ran}(1 - U)$ плотен;

4. $\operatorname {ran}(1 - U^*)$ плотен.

Пусть $U$ — частичная изометрия с начальным и конечным пространствами $\mathcal{M}$ и $\mathcal{N}$ соответственно. Покажите, что следующие утверждения эквивалентны:

1. $(1 - U)\mathcal{M}$ плотно;

2. $(1 - U^*)\mathcal{N}$ плотно;

3. $\ker (U^* - U^*U) = (0)$;

4. $\ker (U - UU^*) = (0)$.

Найдите частичную изометрию $U$ такую, что $\ker (1 - U) = (0)$, но $(1 - U)(\ker U)^{\perp }$ не плотно.

Если $A$ — плотно определённый замкнутый симметричный оператор, а $B$ и $C$ — операторы, определённые в упражнениях 1.11 и 1.12, то преобразование Кэли оператора $A$ является расширением $(C - iB)(C + iB)^{-1}$.

Пусть $e_0, e_1, \ldots$ — ортонормированный базис в $\mathcal{H}$, и пусть $\alpha_0, \alpha_1, \ldots$ — комплексные числа. Определим

и пусть $Ah = \sum_{n=0}^{\infty } \alpha_n \left\langle h, e_n \right\rangle e_n$ для $h$ из $\mathcal{D}$. Найдите преобразование Кэли оператора $A$, когда каждое $\alpha_n$ вещественно.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное измеримое пространство, и пусть $\phi : X \to \mathbb {C}$ — $\Omega$-измеримая функция. Пусть $\mathcal{D} = \left\{ f \in L^2(\mu ) : \phi f \in L^2(\mu )\right\}$, и определим $Af = \phi f$ для всех $f$ из $\mathcal{D}$. Найдите преобразование Кэли оператора $A$, когда $\phi$ вещественнозначна.

Пусть $S$ — односторонний сдвиг кратности 1 (см. упражнение IX.6.4); найдите симметричный оператор $A$ такой, что $S$ является преобразованием Кэли оператора $A$.

Пусть $U = S^*$, где $S$ — односторонний сдвиг кратности 1. Является ли $U$ преобразованием Кэли некоторого симметричного оператора $A$? Если да, найдите его.

Пусть $(X, \Omega )$ — измеримое пространство, $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, и $E$ — спектральная мера для $(X, \Omega , \mathcal{H})$. Пусть $\Phi (X, \Omega )$ — алгебра всех $\Omega$-измеримых функций $\phi : X \to \mathbb {C}$, и определим $\rho : \Phi (X, \Omega ) \to \mathcal{C}(\mathcal{H})$ формулой $\rho (\phi ) = \int \phi \, dE$. Докажите, что для $\phi , \psi$ из $\Phi (X, \Omega )$:

Покажите, что если $A$ — симметричный оператор, являющийся нормальным, то $A$ самосопряжён.

Пусть $E$ — спектральная мера для $(X, \Omega , \mathcal{H})$, пусть $\phi : X \to \mathbb {C}$ — $\Omega$-измеримая функция, и пусть

где $E_{h,k}(\Delta ) = \left\langle E(\Delta )h, k \right\rangle$. (Теорема 4.7 показывает, что для $h$ из $\mathcal{D}_\phi$ и $f$ из $\mathcal{H}$ выполнено $\left\langle \left(\int \phi \, dE\right) h, f \right\rangle = \int \phi \, dE_{h,f}$.)

Покажите, что для $h$ из $\mathcal{D}_\phi$ выполнено $\left\| \left(\int \phi \, dE\right) h\right\|^2 = \int \left|\phi \right|^2 \, dE_{h,h}$.

Используя обозначения теоремы 4.10 (см. X.4.1 выше: $\rho (\phi ) = \int \phi \, dE$ для спектральной меры $E$ и $\Omega$-измеримой функции $\phi$), чему равно $\sigma \left(\int \phi \, dE\right)$?

Вспомните построение из доказательства спектральной теоремы (4.11): для данного нормального оператора $N$ полагают $B = (1 + N^*N)^{-1} = \int_0^1 t \, dP(t)$ — спектральное разложение $B$, полагают $P_n = P\left(\left[1/(n+1), 1/n\right]\right)$ и $\mathcal{H}_n = P_n \mathcal{H}$ для $n \geq 1$, так что $\mathcal{H}_n$ приводит $N$, и $N_n \equiv N \rvert \mathcal{H}_n$ — ограниченный нормальный оператор с $\sigma (N_n) \subseteq \Delta_n \equiv \left\{ z \in \mathbb {C} : (n-1)^{1/2} \leq \left|z\right| \leq n^{1/2}\right\}$; полагая $N_n = \int z \, dE_n(z)$ спектральным разложением $N_n$, спектральную меру $N$ затем определяют формулой $E(\Delta ) = \sum_{n=1}^{\infty } E_n(\Delta \cap \Delta_n)$.

Если $\Delta_n$ и $E_n$ такие же, как в этом построении, покажите, что $E_n(\Delta_{n+1}) = E_n(\Delta_{n-1}) = 0$.

Используя спектральную теорему, покажите, что если $0 < a \leq b < \infty$, $\Delta = \left\{ z \in \mathbb {C} : a \leq \left|z\right| \leq b\right\}$, и $N = \int z \, dE(z)$ — спектральное разложение нормального оператора $N$, то

Сформулируйте и докажите полярное разложение для операторов из $\mathcal{C}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$.

Если $A$ самосопряжён, докажите, что $\exp (iA)$ унитарен.

Если $N$, $M$ — нормальные операторы, а $A$ — ограниченный оператор такой, что $AN \subseteq MA$, то $AN^* \subseteq M^*A$.

Вспомним, что если $N$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$, то вектор $e_0$ называется *-циклическим вектором для $N$, если для всех неотрицательных целых $k$ и $l$ выполнено $e_0 \in \operatorname {dom}(N^{*k}N^l)$ и $\mathcal{H} = \bigvee \left\{ N^{*k}N^l e_0 : k, l \geq 0\right\}$.

Докажите: если $N$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$ с *-циклическим вектором $e_0$, то существует конечная мера $\mu$ на $\mathbb {C}$ такая, что каждый многочлен от $z$ и $\overline{z}$ принадлежит $L^2(\mu )$, и существует изоморфизм $W : \mathcal{H} \to L^2(\mu )$ такой, что $We_0 = 1$ и $WNW^{-1} = N_\mu$.

Пусть $\mu$ — конечная мера на $\mathbb {C}$ такая, что каждый многочлен от $z$ и $\overline{z}$ принадлежит $L^2(\mu )$, и совокупность таких многочленов плотна в $L^2(\mu )$. Пусть $\mathcal{D}_\mu = \left\{ f \in L^2(\mu ) : zf \in L^2(\mu )\right\}$, и определим $N_\mu f = zf$ для $f$ из $\mathcal{D}_\mu$. (Напомним, что $N_\mu$ — нормальный оператор, и $1$ является *-циклическим вектором для $N_\mu$.)

Если $\mu_1, \mu_2$ — конечные меры на $\mathbb {C}$, удовлетворяющие указанным выше условиям, и $N_{\mu_1}, N_{\mu_2}$ определены соответствующим образом, покажите, что $N_{\mu_1} \cong N_{\mu_2}$ тогда и только тогда, когда $[\mu_1] = [\mu_2]$.

Вспомним теорему 4.19: если $N$ — нормальный оператор на сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, то существует $\sigma$-конечное измеримое пространство $(X, \Omega , \mu )$ и $\Omega$-измеримая функция $\phi$ такие, что $N$ унитарно эквивалентен $M_\phi$ на $L^2(\mu )$.

В тексте доказательство лишь набросано следующим образом. Запишем $N$ как (неограниченную) прямую сумму ограниченных нормальных операторов $\left\{ N_n\right\}$. Для каждого $n$ существует $\sigma$-конечное измеримое пространство $(X_n, \Omega_n, \mu_n)$ и ограниченная $\Omega_n$-измеримая функция $\phi_n$ такие, что $N_n \cong M_{\phi_n}$. Пусть $X$ — дизъюнктное объединение $\left\{ X_n\right\}$, и пусть $\Omega = \left\{ \Delta \subseteq X : \Delta \cap X_n \in \Omega_n \text{ для каждого } n\right\}$. Если $\Delta \in \Omega$, положим $\mu (\Delta ) = \sum_{n=1}^{\infty } \mu_n(\Delta \cap X_n)$. Пусть $\phi : X \to \mathbb {C}$ определена формулой $\phi (x) = \phi_n(x)$, если $x \in X_n$. Тогда $\phi$ является $\Omega$-измеримой, и $N \cong M_\phi$ на $L^2(X, \Omega , \mu )$.

Заполните детали этого доказательства.

Если $U : \mathbb {R} \to \mathcal{B}(\mathcal{H})$ таково, что $U(t)$ унитарен для всех $t$, $U(s+t) = U(s)U(t)$ для всех $s, t$, и $U : \mathbb {R} \to (\mathcal{B}(\mathcal{H}), \mathrm{WOT})$ непрерывно, то $U$ непрерывно в SOT.

Покажите, что для каждого целого $n$ существует непрерывно дифференцируемая функция $\phi_n$ такая, что и $\phi_n$, и $\phi_n' \in L^1(0, \infty )$, $\phi_n(t) = 0$, если $t \geq 1/n$, и $\int_0^{\infty } \phi_n(t) \, dt = 1$.

Вспомним построение из доказательства теоремы Стоуна. Пусть $U$ — сильно непрерывная однопараметрическая унитарная группа на $\mathcal{H}$, и пусть $\mathcal{D}$ — множество всех векторов $h$ в $\mathcal{H}$ таких, что $\lim_{t \to 0} t^{-1}[U(t)h - h]$ существует ($\mathcal{D}$, как показывается, плотно в $\mathcal{H}$ с помощью операторов $T_\phi h = \int_0^{\infty } \phi (t) U(t) h \, dt$ для непрерывных $\phi \in L^1(0, \infty )$, вместе с функциями $\phi_n$, как в упражнении 2). Для $h$ из $\mathcal{D}$ определим

Докажите, что $A$ симметричен.

Примем следующие обозначения из доказательства теоремы Стоуна. Пусть $U$ — сильно непрерывная однопараметрическая унитарная группа на $\mathcal{H}$, и пусть $\mathcal{L}$ — совокупность всех непрерывных функций $\phi$ на $\mathbb {R}$ таких, что $\phi \in L^1(0, \infty )$. Для $\phi$ из $\mathcal{L}$ и $h$ из $\mathcal{H}$ определим

и пусть $A$ — инфинитезимальный генератор $U$. Пусть $\phi , \psi \in \mathcal{L}$; покажите:

Пусть $U$ — сильно непрерывная однопараметрическая унитарная группа с инфинитезимальным генератором $A$. Предположим, что $e$ — ненулевой вектор в $\mathcal{H}$ такой, что $Ae = \lambda e$. Чему равен $U(t)e$? Обратно, предположим, что существует ненулевое $t$ такое, что $U(t)$ имеет собственный вектор. Что можно сказать про $A$? Про $U(s)$?

(Это упражнение призвано дать другое доказательство предложения 5.15, а также сообщить дополнительную информацию.)

Пусть $U$ — сильно непрерывная однопараметрическая унитарная группа с инфинитезимальным генератором $A$. Покажите, что если $\left\| U(t) - 1\right\| \to 0$ при $t \to 0$, то при $t \to 0$ имеем $t^{-1} \int_a^{a+t} U(s) \, ds \to U(a)$ по норме. Отсюда покажите, что при $t \to 0$ выражение $t^{-1}[U(t) - 1]$ имеет предел по норме, и, следовательно, $A$ является ограниченным оператором, поскольку он есть предел по норме ограниченных операторов.

Пусть $\mathcal{D} = \left\{ f \in L^2(\mathbb {R}) : f \text{ абсолютно непрерывна на каждом ограниченном интервале в } \mathbb {R} \text{ и } f' \in L^2(\mathbb {R})\right\}$. (Напомним, что для $f$ из $\mathcal{D}$, полагая $Af = if'$, получаем, что $A$ самосопряжён.)

Покажите, что для каждой $f$ из $\mathcal{D}$ существует последовательность $\left\{ f_n\right\}$ в $C_c^{(1)}(\mathbb {R})$ такая, что $f_n \to f$ и $f_n' \to f'$ в $L^2(\mathbb {R})$.

Покажите, что пространство Шварца $\mathcal{S}$ с полунормами $\left\{ \left\| \cdot \right\|_{m,n} : m, n \geq 0\right\}$ является пространством Фреше.

Если $\phi$ бесконечно дифференцируема на $\mathbb {R}$, покажите, что $\phi \in \mathcal{S}$ тогда и только тогда, когда для каждого целого $n \geq 0$ и каждого многочлена $p$ выполнено $\phi^{(n)}(x)p(x) \to 0$ при $\left|x\right| \to \infty$.

Если $f \in L^p(\mathbb {R})$, $1 \leq p \leq \infty$, и $g \in L^1(\mathbb {R})$, покажите, что $f * g \in L^p(\mathbb {R})$ и $\left\| f * g\right\|_p \leq \left\| f\right\|_p \left\| g\right\|_1$.

Вспомним предложение 6.13: если $\psi \in L^1(\mathbb {R})$ таково, что $(2\pi )^{-1/2}\int_{\mathbb {R}} \psi (x) \, dx = 1$, и если для $\varepsilon > 0$ положить $\psi_\varepsilon (x) = \varepsilon^{-1}\psi (x/\varepsilon )$, то для каждой $f$ из $C_0(\mathbb {R})$ выполнено $\psi_\varepsilon * f(x) \to f(x)$ равномерно на $\mathbb {R}$.

Пусть $\psi$ и $\psi_\varepsilon$ такие же, как выше. Если $f \in L^p(\mathbb {R})$, $1 \leq p < \infty$, покажите, что $\left\| f * \psi_\varepsilon - f\right\|_p \to 0$ при $\varepsilon \to 0$. Если $f \in L^{\infty }(\mathbb {R})$, покажите, что $f * \psi_\varepsilon \to f$ (слабо*).

Если $f \in L^1(\mathbb {R})$ и $\hat{f} \in L^1(\mathbb {R})$, покажите, что $f(x) = (2\pi )^{-1/2} \int_{\mathbb {R}} \hat{f}(t) e^{ixt} \, dt$ п.в.

Если $\mathscr {F} : L^2(\mathbb {R}) \to L^2(\mathbb {R})$ — преобразование Планшереля, и $f \in L^2(\mathbb {R})$, покажите, что $(\mathscr {F}^{-1}f)(x) = (\mathscr {F}f)(-x)$.

Покажите, что $\mathscr {F}^4 = 1$, но $\mathscr {F}^2 \neq 1$. Что это говорит о $\sigma (\mathscr {F})$?

Найдите преобразование Фурье многочленов Эрмита. Что вы думаете по этому поводу?

Пусть $\left\{ m_n : n \geq 0\right\}$ — последовательность вещественных чисел; покажите, что следующие утверждения эквивалентны.

1. Существует положительная регулярная борелевская мера $\mu$ на $[0, \infty )$ такая, что $m_n = \int t^n \, d\mu (t)$ для всех $n \geq 0$.

2. Если $\alpha_0, \ldots , \alpha_n \in \mathbb {C}$, то $\sum_{j,k=0}^{n} m_{j+k} \alpha_j \overline{\alpha_k} \geq 0$ и $\sum_{j,k=0}^{n} m_{j+k+1} \alpha_j \overline{\alpha_k} \geq 0$.

3. Существует самосопряжённый оператор $A$ с $\sigma (A) \subseteq [0, \infty )$ и вектор $e$ из $\operatorname {dom} A^n$ для всех $n \geq 0$ такие, что $m_n = \left\langle A^n e, e \right\rangle$ для $n \geq 0$.

Пусть $m : \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ — функция; покажите, что следующие утверждения эквивалентны.

1. Существует конечная положительная мера $\mu$ на $\mathbb {R}$ такая, что $m(t) = \int e^{ixt} \, d\mu (x)$ для всех $t$ из $\mathbb {R}$.

2. $m$ непрерывна, и если $\alpha_0, \ldots , \alpha_n \in \mathbb {C}$ и $t_0, \ldots , t_n \in \mathbb {R}$, то $\sum_{j,k=0}^{n} m(t_j - t_k) \alpha_j \overline{\alpha_k} \geq 0$.

3. Существует сильно непрерывная однопараметрическая унитарная группа $U(t)$ и вектор $e$ такие, что $m(t) = \left\langle U(t)e, e \right\rangle$ для всех $t$.

Пусть $\left\{ m_n : n \in \mathbb {Z}\right\} \subseteq \mathbb {C}$; покажите, что следующие утверждения эквивалентны.

1. Существует положительная мера $\mu$ на $\partial \mathbb {D}$ такая, что $m_n = \int z^n \, d\mu (z)$ для всех $n$ из $\mathbb {Z}$.

2. Если $\alpha_{-n}, \ldots , \alpha_{-1}, \alpha_0, \alpha_1, \ldots , \alpha_n \in \mathbb {C}$, то $\sum_{j,k=-n}^{n} m_{j-k} \alpha_j \overline{\alpha_k} \geq 0$.

3. Существует унитарный оператор $U$ и вектор $e$ такие, что $m_n = \left\langle U^n e, e \right\rangle$ для всех $n$.

Вспомним доказательство того, что (7.1b) влечёт (7.1c) в проблеме моментов Стилтьеса (теорема 7.1): для данной последовательности $\left\{ m_n : n \geq 0\right\}$ вещественных чисел, удовлетворяющей $\sum_{j,k=0}^{n} m_{j+k}\alpha_j\overline{\alpha_k} \geq 0$ и $\sum_{j,k=0}^{n} m_{j+k+1}\alpha_j\overline{\alpha_k} \geq 0$ для всех $\alpha_0, \ldots , \alpha_n \in \mathbb {C}$, полагают $\mathcal{H}_0$ — векторное пространство всех финитных последовательностей $\left\{ \alpha_n : n \geq 0\right\}$ комплексных чисел, с полускалярным произведением $[x, y] = \sum_{j,k=0}^{\infty } m_{j+k} \alpha_j \overline{\beta_k}$ для $x = \left\{ \alpha_n\right\}$, $y = \left\{ \beta_n\right\}$ из $\mathcal{H}_0$; полагают $T_0 x = \left\{ 0, \alpha_0, \alpha_1, \ldots \right\}$ для $x = \left\{ \alpha_n\right\}$ из $\mathcal{H}_0$, так что $[T_0 x, y] = [x, T_0 y]$; полагают $\mathcal{K}_0 = \left\{ x \in \mathcal{H}_0 : [x,x] = 0\right\}$, показывают, что $T_0 \mathcal{K}_0 \subseteq \mathcal{K}_0$, и пусть $T$ — плотно определённый симметричный оператор, индуцированный $T_0$ на гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, полученном пополнением $\mathcal{H}_1 = \mathcal{H}_0/\mathcal{K}_0$ относительно скалярного произведения, индуцированного $[\cdot ,\cdot ]$; используют сопряжение $J_0(\left\{ \alpha_n\right\} ) = \left\{ \overline{\alpha_n}\right\}$ на $\mathcal{H}_0$ (которое удовлетворяет $J_0 \mathcal{K}_0 \subseteq \mathcal{K}_0$, так что индуцирует сопряжение $J$ на $\mathcal{H}$, удовлетворяющее условиям предложения 7.2), чтобы построить самосопряжённое расширение $A$ оператора $T$; и берут $e_0 = \left\{ 1, 0, 0, \ldots \right\} \in \mathcal{H}_0$ и $e = e_0 + \mathcal{K}_0 \in \mathcal{H}_1$, так что $e \in \operatorname {dom} T^n \subseteq \operatorname {dom} A^n$ для всех $n \geq 0$ и $\left\langle A^n e, e \right\rangle = [T_0^n e_0, e_0] = m_n$ для всех $n \geq 0$.