Основные свойства и примеры

Если $A$, $B$ и $AB$ — плотно определённые линейные операторы, покажите, что $(AB)^* \supseteq B^*A^*$.

Пусть $e_0, e_1, \ldots$ — ортонормированный базис в $\mathcal{H}$, и пусть $\alpha_0, \alpha_1, \ldots$ — комплексные числа. Определим

и пусть $Ah = \sum_{n=0}^{\infty } \alpha_n \left\langle h, e_n \right\rangle e_n$ для $h$ из $\mathcal{D}$. Проверьте, что $A \in \mathcal{C}(\mathcal{H})$ с $\operatorname {dom} A = \mathcal{D}$, что $\operatorname {dom} A^* = \mathcal{D}$, и что $A^*h = \sum_{n=0}^{\infty } \overline{\alpha_n} \left\langle h, e_n \right\rangle e_n$ для всех $h$ из $\mathcal{D}$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное измеримое пространство, и пусть $\phi : X \to \mathbb {C}$ — $\Omega$-измеримая функция. Пусть $\mathcal{D} = \left\{ f \in L^2(\mu ) : \phi f \in L^2(\mu )\right\}$, и определим $Af = \phi f$ для всех $f$ из $\mathcal{D}$. Проверьте, что $A \in \mathcal{C}(L^2(\mu ))$, что $\operatorname {dom} A^* = \mathcal{D}$, и что $A^*f = \overline{\phi } f$ для $f$ из $\mathcal{D}$.

Определите неограниченный взвешенный сдвиг и найдите его сопряжённый.

Пусть $\mathcal{D}$ — множество всех функций $f : [0,1] \to \mathbb {C}$, абсолютно непрерывных, с $f' \in L^2(0,1)$, и таких, что $f(0) = f(1) = 0$. Определим $A : L^2(0,1) \to L^2(0,1)$ формулой $Af = if'$ для $f$ из $\mathcal{D}$.

Проверьте, что $\mathcal{D}$ плотно в $L^2(0,1)$, что $A \in \mathcal{C}(L^2(0,1))$, и что $\operatorname {dom} A^* = \left\{ g : g \text{ абсолютно непрерывна на } [0,1], \, g' \in L^2(0,1)\right\}$, причём $A^*g = ig'$ для $g$ из $\operatorname {dom} A^*$.

Если $\mathcal{H}$ бесконечномерно, покажите, что существует линейный оператор $A : \mathcal{H} \to \mathcal{H}$ такой, что $\operatorname {gra} A$ плотен в $\mathcal{H} \oplus \mathcal{H}$. Что это говорит об $\operatorname {dom} A^*$? (См. Lindsay [1984].)

Пусть $\mathcal{D}$ — множество абсолютно непрерывных функций $f$ таких, что $f' \in L^2(0,1)$. Пусть $Df = f'$ для $f$ из $\mathcal{D}$, и пусть $(Af)(x) = xf(x)$ для $f$ из $L^2(0,1)$. Покажите, что $DA - AD \subseteq 1$.

Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей, покажите, что не существует элементов $a, b$ в $\mathcal{A}$ таких, что $ab - ba = 1$.

Пусть $A \in \mathcal{C}(\mathcal{H})$. Докажите:

Определим $A : L^2(\mathbb {R}) \to L^2(\mathbb {R})$ формулой $(Af)(x) = \exp (-x^2) f(x-1)$ для всех $f$ из $L^2(\mathbb {R})$.

Если $A \in \mathcal{C}(\mathcal{H})$, покажите, что $A^*A \in \mathcal{C}(\mathcal{H})$. Покажите, что $-1 \notin \sigma (A^*A)$, и что если $B = (1 + A^*A)^{-1}$, то $\left\| B\right\| \leq 1$.

Если $B$ — ограниченный оператор, полученный в упражнении 11, покажите, что $C = AB$ также ограничен и $\left\| C\right\| \leq 1$.

Если $A$ — самосопряжённый оператор, то $\lambda \in \rho (A)$ тогда и только тогда, когда $A - \lambda$ сюръективен.