Теорема Стоуна

Если $U : \mathbb {R} \to \mathcal{B}(\mathcal{H})$ таково, что $U(t)$ унитарен для всех $t$, $U(s+t) = U(s)U(t)$ для всех $s, t$, и $U : \mathbb {R} \to (\mathcal{B}(\mathcal{H}), \mathrm{WOT})$ непрерывно, то $U$ непрерывно в SOT.

Покажите, что для каждого целого $n$ существует непрерывно дифференцируемая функция $\phi_n$ такая, что и $\phi_n$, и $\phi_n' \in L^1(0, \infty )$, $\phi_n(t) = 0$, если $t \geq 1/n$, и $\int_0^{\infty } \phi_n(t) \, dt = 1$.

Вспомним построение из доказательства теоремы Стоуна. Пусть $U$ — сильно непрерывная однопараметрическая унитарная группа на $\mathcal{H}$, и пусть $\mathcal{D}$ — множество всех векторов $h$ в $\mathcal{H}$ таких, что $\lim_{t \to 0} t^{-1}[U(t)h - h]$ существует ($\mathcal{D}$, как показывается, плотно в $\mathcal{H}$ с помощью операторов $T_\phi h = \int_0^{\infty } \phi (t) U(t) h \, dt$ для непрерывных $\phi \in L^1(0, \infty )$, вместе с функциями $\phi_n$, как в упражнении 2). Для $h$ из $\mathcal{D}$ определим

Докажите, что $A$ симметричен.

Примем следующие обозначения из доказательства теоремы Стоуна. Пусть $U$ — сильно непрерывная однопараметрическая унитарная группа на $\mathcal{H}$, и пусть $\mathcal{L}$ — совокупность всех непрерывных функций $\phi$ на $\mathbb {R}$ таких, что $\phi \in L^1(0, \infty )$. Для $\phi$ из $\mathcal{L}$ и $h$ из $\mathcal{H}$ определим

и пусть $A$ — инфинитезимальный генератор $U$. Пусть $\phi , \psi \in \mathcal{L}$; покажите:

Пусть $U$ — сильно непрерывная однопараметрическая унитарная группа с инфинитезимальным генератором $A$. Предположим, что $e$ — ненулевой вектор в $\mathcal{H}$ такой, что $Ae = \lambda e$. Чему равен $U(t)e$? Обратно, предположим, что существует ненулевое $t$ такое, что $U(t)$ имеет собственный вектор. Что можно сказать про $A$? Про $U(s)$?

(Это упражнение призвано дать другое доказательство предложения 5.15, а также сообщить дополнительную информацию.)

Пусть $U$ — сильно непрерывная однопараметрическая унитарная группа с инфинитезимальным генератором $A$. Покажите, что если $\left\| U(t) - 1\right\| \to 0$ при $t \to 0$, то при $t \to 0$ имеем $t^{-1} \int_a^{a+t} U(s) \, ds \to U(a)$ по норме. Отсюда покажите, что при $t \to 0$ выражение $t^{-1}[U(t) - 1]$ имеет предел по норме, и, следовательно, $A$ является ограниченным оператором, поскольку он есть предел по норме ограниченных операторов.