Симметрические и самосопряжённые операторы

Если $A$ симметричен, покажите, что все собственные значения $A$ вещественны.

Если $A$ симметричен, а $\lambda , \mu$ — различные собственные значения, покажите, что $\ker (A - \lambda ) \perp \ker (A - \mu )$.

Покажите, что замыкание симметричного оператора симметрично.

Пусть $\mathcal{D} = \left\{ f \in L^2(0, \infty ) : \text{для каждого } c > 0 \, f \text{ абсолютно непрерывна на } [0, c], \, f(0) = 0, \text{ и } f' \in L^2(0, \infty )\right\}$. Определим $Af = if'$ для $f$ из $\mathcal{D}$. Покажите, что $A$ — плотно определённый замкнутый оператор, и найдите $\operatorname {dom} A^*$. Покажите, что $A$ симметричен с индексами дефекта $n_+ = 0$ и $n_- = 1$.

Пусть $\mathcal{E} = \left\{ f \in L^2(-\infty , 0) : \text{для каждого } c < 0 \, f \text{ абсолютно непрерывна на } [c, 0], \, f(0) = 0, \text{ и } f' \in L^2(-\infty , 0)\right\}$. Определим $Af = if'$ для $f$ из $\mathcal{E}$. Покажите, что $A$ — плотно определённый замкнутый оператор, и найдите $\operatorname {dom} A^*$. Покажите, что $A$ симметричен с индексами дефекта $n_+ = 1$, $n_- = 0$.

Если $k, l$ — произвольные неотрицательные целые числа или $\infty$, покажите, что существует замкнутый симметричный оператор $A$ с $n_+ = k$ и $n_- = l$.

Пусть $C_c^{(2)}(0,1)$ — множество всех дважды непрерывно дифференцируемых функций на $(0,1)$ с компактным носителем, и пусть $Af = -f''$ для $f$ из $C_c^{(2)}(0,1)$. Покажите, что замыкание $A$ — плотно определённый симметричный оператор, и определите все его самосопряжённые расширения.

Если $A \in \mathcal{C}(\mathcal{H})$, покажите, что $A^*A$ самосопряжён (см. упражнение 1.11).

Будем говорить, что оператор $A$ положителен, если $\left\langle Ah, h \right\rangle \geq 0$ для всех $h$ из $\operatorname {dom} A$. Докажите, что если $A$ положителен и самосопряжён, то $\sigma (A) \subseteq [0, \infty )$. Если предполагается лишь, что $A$ замкнут и положителен, покажите, что это заключение может не выполняться.

(Lasser [1972]) Пусть $\mathcal{M}$ — плотное линейное многообразие в $\mathcal{H}$, и пусть $\mathcal{A}$ состоит из всех линейных преобразований $A$ таких, что $\operatorname {dom} A = \mathcal{M}$, $A\mathcal{M} \subseteq \mathcal{M}$, сопряжённый к $A$ существует, $\mathcal{M} \subseteq \operatorname {dom} A^*$, и $A^*\mathcal{M} \subseteq \mathcal{M}$. Докажите, что $A \mapsto A^*\rvert \mathcal{M}$ задаёт инволюцию на $\mathcal{A}$.