Моменты

Пусть $\left\{ m_n : n \geq 0\right\}$ — последовательность вещественных чисел; покажите, что следующие утверждения эквивалентны.

1. Существует положительная регулярная борелевская мера $\mu$ на $[0, \infty )$ такая, что $m_n = \int t^n \, d\mu (t)$ для всех $n \geq 0$.

2. Если $\alpha_0, \ldots , \alpha_n \in \mathbb {C}$, то $\sum_{j,k=0}^{n} m_{j+k} \alpha_j \overline{\alpha_k} \geq 0$ и $\sum_{j,k=0}^{n} m_{j+k+1} \alpha_j \overline{\alpha_k} \geq 0$.

3. Существует самосопряжённый оператор $A$ с $\sigma (A) \subseteq [0, \infty )$ и вектор $e$ из $\operatorname {dom} A^n$ для всех $n \geq 0$ такие, что $m_n = \left\langle A^n e, e \right\rangle$ для $n \geq 0$.

Пусть $m : \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ — функция; покажите, что следующие утверждения эквивалентны.

1. Существует конечная положительная мера $\mu$ на $\mathbb {R}$ такая, что $m(t) = \int e^{ixt} \, d\mu (x)$ для всех $t$ из $\mathbb {R}$.

2. $m$ непрерывна, и если $\alpha_0, \ldots , \alpha_n \in \mathbb {C}$ и $t_0, \ldots , t_n \in \mathbb {R}$, то $\sum_{j,k=0}^{n} m(t_j - t_k) \alpha_j \overline{\alpha_k} \geq 0$.

3. Существует сильно непрерывная однопараметрическая унитарная группа $U(t)$ и вектор $e$ такие, что $m(t) = \left\langle U(t)e, e \right\rangle$ для всех $t$.

Пусть $\left\{ m_n : n \in \mathbb {Z}\right\} \subseteq \mathbb {C}$; покажите, что следующие утверждения эквивалентны.

1. Существует положительная мера $\mu$ на $\partial \mathbb {D}$ такая, что $m_n = \int z^n \, d\mu (z)$ для всех $n$ из $\mathbb {Z}$.

2. Если $\alpha_{-n}, \ldots , \alpha_{-1}, \alpha_0, \alpha_1, \ldots , \alpha_n \in \mathbb {C}$, то $\sum_{j,k=-n}^{n} m_{j-k} \alpha_j \overline{\alpha_k} \geq 0$.

3. Существует унитарный оператор $U$ и вектор $e$ такие, что $m_n = \left\langle U^n e, e \right\rangle$ для всех $n$.

Вспомним доказательство того, что (7.1b) влечёт (7.1c) в проблеме моментов Стилтьеса (теорема 7.1): для данной последовательности $\left\{ m_n : n \geq 0\right\}$ вещественных чисел, удовлетворяющей $\sum_{j,k=0}^{n} m_{j+k}\alpha_j\overline{\alpha_k} \geq 0$ и $\sum_{j,k=0}^{n} m_{j+k+1}\alpha_j\overline{\alpha_k} \geq 0$ для всех $\alpha_0, \ldots , \alpha_n \in \mathbb {C}$, полагают $\mathcal{H}_0$ — векторное пространство всех финитных последовательностей $\left\{ \alpha_n : n \geq 0\right\}$ комплексных чисел, с полускалярным произведением $[x, y] = \sum_{j,k=0}^{\infty } m_{j+k} \alpha_j \overline{\beta_k}$ для $x = \left\{ \alpha_n\right\}$, $y = \left\{ \beta_n\right\}$ из $\mathcal{H}_0$; полагают $T_0 x = \left\{ 0, \alpha_0, \alpha_1, \ldots \right\}$ для $x = \left\{ \alpha_n\right\}$ из $\mathcal{H}_0$, так что $[T_0 x, y] = [x, T_0 y]$; полагают $\mathcal{K}_0 = \left\{ x \in \mathcal{H}_0 : [x,x] = 0\right\}$, показывают, что $T_0 \mathcal{K}_0 \subseteq \mathcal{K}_0$, и пусть $T$ — плотно определённый симметричный оператор, индуцированный $T_0$ на гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, полученном пополнением $\mathcal{H}_1 = \mathcal{H}_0/\mathcal{K}_0$ относительно скалярного произведения, индуцированного $[\cdot ,\cdot ]$; используют сопряжение $J_0(\left\{ \alpha_n\right\} ) = \left\{ \overline{\alpha_n}\right\}$ на $\mathcal{H}_0$ (которое удовлетворяет $J_0 \mathcal{K}_0 \subseteq \mathcal{K}_0$, так что индуцирует сопряжение $J$ на $\mathcal{H}$, удовлетворяющее условиям предложения 7.2), чтобы построить самосопряжённое расширение $A$ оператора $T$; и берут $e_0 = \left\{ 1, 0, 0, \ldots \right\} \in \mathcal{H}_0$ и $e = e_0 + \mathcal{K}_0 \in \mathcal{H}_1$, так что $e \in \operatorname {dom} T^n \subseteq \operatorname {dom} A^n$ для всех $n \geq 0$ и $\left\langle A^n e, e \right\rangle = [T_0^n e_0, e_0] = m_n$ для всех $n \geq 0$.

Покажите, что построенный таким образом оператор $A$ циклический.