Преобразование Фурье и дифференцирование

Пусть $\mathcal{D} = \left\{ f \in L^2(\mathbb {R}) : f \text{ абсолютно непрерывна на каждом ограниченном интервале в } \mathbb {R} \text{ и } f' \in L^2(\mathbb {R})\right\}$. (Напомним, что для $f$ из $\mathcal{D}$, полагая $Af = if'$, получаем, что $A$ самосопряжён.)

Покажите, что для каждой $f$ из $\mathcal{D}$ существует последовательность $\left\{ f_n\right\}$ в $C_c^{(1)}(\mathbb {R})$ такая, что $f_n \to f$ и $f_n' \to f'$ в $L^2(\mathbb {R})$.

Покажите, что пространство Шварца $\mathcal{S}$ с полунормами $\left\{ \left\| \cdot \right\|_{m,n} : m, n \geq 0\right\}$ является пространством Фреше.

Если $\phi$ бесконечно дифференцируема на $\mathbb {R}$, покажите, что $\phi \in \mathcal{S}$ тогда и только тогда, когда для каждого целого $n \geq 0$ и каждого многочлена $p$ выполнено $\phi^{(n)}(x)p(x) \to 0$ при $\left|x\right| \to \infty$.

Если $f \in L^p(\mathbb {R})$, $1 \leq p \leq \infty$, и $g \in L^1(\mathbb {R})$, покажите, что $f * g \in L^p(\mathbb {R})$ и $\left\| f * g\right\|_p \leq \left\| f\right\|_p \left\| g\right\|_1$.

Вспомним предложение 6.13: если $\psi \in L^1(\mathbb {R})$ таково, что $(2\pi )^{-1/2}\int_{\mathbb {R}} \psi (x) \, dx = 1$, и если для $\varepsilon > 0$ положить $\psi_\varepsilon (x) = \varepsilon^{-1}\psi (x/\varepsilon )$, то для каждой $f$ из $C_0(\mathbb {R})$ выполнено $\psi_\varepsilon * f(x) \to f(x)$ равномерно на $\mathbb {R}$.

Пусть $\psi$ и $\psi_\varepsilon$ такие же, как выше. Если $f \in L^p(\mathbb {R})$, $1 \leq p < \infty$, покажите, что $\left\| f * \psi_\varepsilon - f\right\|_p \to 0$ при $\varepsilon \to 0$. Если $f \in L^{\infty }(\mathbb {R})$, покажите, что $f * \psi_\varepsilon \to f$ (слабо*).

Если $f \in L^1(\mathbb {R})$ и $\hat{f} \in L^1(\mathbb {R})$, покажите, что $f(x) = (2\pi )^{-1/2} \int_{\mathbb {R}} \hat{f}(t) e^{ixt} \, dt$ п.в.

Если $\mathscr {F} : L^2(\mathbb {R}) \to L^2(\mathbb {R})$ — преобразование Планшереля, и $f \in L^2(\mathbb {R})$, покажите, что $(\mathscr {F}^{-1}f)(x) = (\mathscr {F}f)(-x)$.

Покажите, что $\mathscr {F}^4 = 1$, но $\mathscr {F}^2 \neq 1$. Что это говорит о $\sigma (\mathscr {F})$?

Найдите преобразование Фурье многочленов Эрмита. Что вы думаете по этому поводу?