Неограниченные нормальные операторы и спектральная теорема

Пусть $(X, \Omega )$ — измеримое пространство, $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, и $E$ — спектральная мера для $(X, \Omega , \mathcal{H})$. Пусть $\Phi (X, \Omega )$ — алгебра всех $\Omega$-измеримых функций $\phi : X \to \mathbb {C}$, и определим $\rho : \Phi (X, \Omega ) \to \mathcal{C}(\mathcal{H})$ формулой $\rho (\phi ) = \int \phi \, dE$. Докажите, что для $\phi , \psi$ из $\Phi (X, \Omega )$:

Покажите, что если $A$ — симметричный оператор, являющийся нормальным, то $A$ самосопряжён.

Пусть $E$ — спектральная мера для $(X, \Omega , \mathcal{H})$, пусть $\phi : X \to \mathbb {C}$ — $\Omega$-измеримая функция, и пусть

где $E_{h,k}(\Delta ) = \left\langle E(\Delta )h, k \right\rangle$. (Теорема 4.7 показывает, что для $h$ из $\mathcal{D}_\phi$ и $f$ из $\mathcal{H}$ выполнено $\left\langle \left(\int \phi \, dE\right) h, f \right\rangle = \int \phi \, dE_{h,f}$.)

Покажите, что для $h$ из $\mathcal{D}_\phi$ выполнено $\left\| \left(\int \phi \, dE\right) h\right\|^2 = \int \left|\phi \right|^2 \, dE_{h,h}$.

Используя обозначения теоремы 4.10 (см. X.4.1 выше: $\rho (\phi ) = \int \phi \, dE$ для спектральной меры $E$ и $\Omega$-измеримой функции $\phi$), чему равно $\sigma \left(\int \phi \, dE\right)$?

Вспомните построение из доказательства спектральной теоремы (4.11): для данного нормального оператора $N$ полагают $B = (1 + N^*N)^{-1} = \int_0^1 t \, dP(t)$ — спектральное разложение $B$, полагают $P_n = P\left(\left[1/(n+1), 1/n\right]\right)$ и $\mathcal{H}_n = P_n \mathcal{H}$ для $n \geq 1$, так что $\mathcal{H}_n$ приводит $N$, и $N_n \equiv N \rvert \mathcal{H}_n$ — ограниченный нормальный оператор с $\sigma (N_n) \subseteq \Delta_n \equiv \left\{ z \in \mathbb {C} : (n-1)^{1/2} \leq \left|z\right| \leq n^{1/2}\right\}$; полагая $N_n = \int z \, dE_n(z)$ спектральным разложением $N_n$, спектральную меру $N$ затем определяют формулой $E(\Delta ) = \sum_{n=1}^{\infty } E_n(\Delta \cap \Delta_n)$.

Если $\Delta_n$ и $E_n$ такие же, как в этом построении, покажите, что $E_n(\Delta_{n+1}) = E_n(\Delta_{n-1}) = 0$.

Используя спектральную теорему, покажите, что если $0 < a \leq b < \infty$, $\Delta = \left\{ z \in \mathbb {C} : a \leq \left|z\right| \leq b\right\}$, и $N = \int z \, dE(z)$ — спектральное разложение нормального оператора $N$, то

Сформулируйте и докажите полярное разложение для операторов из $\mathcal{C}(\mathcal{H}, \mathcal{K})$.

Если $A$ самосопряжён, докажите, что $\exp (iA)$ унитарен.

Если $N$, $M$ — нормальные операторы, а $A$ — ограниченный оператор такой, что $AN \subseteq MA$, то $AN^* \subseteq M^*A$.

Вспомним, что если $N$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$, то вектор $e_0$ называется *-циклическим вектором для $N$, если для всех неотрицательных целых $k$ и $l$ выполнено $e_0 \in \operatorname {dom}(N^{*k}N^l)$ и $\mathcal{H} = \bigvee \left\{ N^{*k}N^l e_0 : k, l \geq 0\right\}$.

Докажите: если $N$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$ с *-циклическим вектором $e_0$, то существует конечная мера $\mu$ на $\mathbb {C}$ такая, что каждый многочлен от $z$ и $\overline{z}$ принадлежит $L^2(\mu )$, и существует изоморфизм $W : \mathcal{H} \to L^2(\mu )$ такой, что $We_0 = 1$ и $WNW^{-1} = N_\mu$.

Пусть $\mu$ — конечная мера на $\mathbb {C}$ такая, что каждый многочлен от $z$ и $\overline{z}$ принадлежит $L^2(\mu )$, и совокупность таких многочленов плотна в $L^2(\mu )$. Пусть $\mathcal{D}_\mu = \left\{ f \in L^2(\mu ) : zf \in L^2(\mu )\right\}$, и определим $N_\mu f = zf$ для $f$ из $\mathcal{D}_\mu$. (Напомним, что $N_\mu$ — нормальный оператор, и $1$ является *-циклическим вектором для $N_\mu$.)

Если $\mu_1, \mu_2$ — конечные меры на $\mathbb {C}$, удовлетворяющие указанным выше условиям, и $N_{\mu_1}, N_{\mu_2}$ определены соответствующим образом, покажите, что $N_{\mu_1} \cong N_{\mu_2}$ тогда и только тогда, когда $[\mu_1] = [\mu_2]$.

Вспомним теорему 4.19: если $N$ — нормальный оператор на сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, то существует $\sigma$-конечное измеримое пространство $(X, \Omega , \mu )$ и $\Omega$-измеримая функция $\phi$ такие, что $N$ унитарно эквивалентен $M_\phi$ на $L^2(\mu )$.

В тексте доказательство лишь набросано следующим образом. Запишем $N$ как (неограниченную) прямую сумму ограниченных нормальных операторов $\left\{ N_n\right\}$. Для каждого $n$ существует $\sigma$-конечное измеримое пространство $(X_n, \Omega_n, \mu_n)$ и ограниченная $\Omega_n$-измеримая функция $\phi_n$ такие, что $N_n \cong M_{\phi_n}$. Пусть $X$ — дизъюнктное объединение $\left\{ X_n\right\}$, и пусть $\Omega = \left\{ \Delta \subseteq X : \Delta \cap X_n \in \Omega_n \text{ для каждого } n\right\}$. Если $\Delta \in \Omega$, положим $\mu (\Delta ) = \sum_{n=1}^{\infty } \mu_n(\Delta \cap X_n)$. Пусть $\phi : X \to \mathbb {C}$ определена формулой $\phi (x) = \phi_n(x)$, если $x \in X_n$. Тогда $\phi$ является $\Omega$-измеримой, и $N \cong M_\phi$ на $L^2(X, \Omega , \mu )$.

Заполните детали этого доказательства.