Преобразование Кэли

Если $U$ — частичная изометрия, покажите, что следующие утверждения эквивалентны:

1. $\ker (1 - U) = (0)$;

2. $\ker (1 - U^*) = (0)$;

3. $\operatorname {ran}(1 - U)$ плотен;

4. $\operatorname {ran}(1 - U^*)$ плотен.

Пусть $U$ — частичная изометрия с начальным и конечным пространствами $\mathcal{M}$ и $\mathcal{N}$ соответственно. Покажите, что следующие утверждения эквивалентны:

1. $(1 - U)\mathcal{M}$ плотно;

2. $(1 - U^*)\mathcal{N}$ плотно;

3. $\ker (U^* - U^*U) = (0)$;

4. $\ker (U - UU^*) = (0)$.

Найдите частичную изометрию $U$ такую, что $\ker (1 - U) = (0)$, но $(1 - U)(\ker U)^{\perp }$ не плотно.

Если $A$ — плотно определённый замкнутый симметричный оператор, а $B$ и $C$ — операторы, определённые в упражнениях 1.11 и 1.12, то преобразование Кэли оператора $A$ является расширением $(C - iB)(C + iB)^{-1}$.

Пусть $e_0, e_1, \ldots$ — ортонормированный базис в $\mathcal{H}$, и пусть $\alpha_0, \alpha_1, \ldots$ — комплексные числа. Определим

и пусть $Ah = \sum_{n=0}^{\infty } \alpha_n \left\langle h, e_n \right\rangle e_n$ для $h$ из $\mathcal{D}$. Найдите преобразование Кэли оператора $A$, когда каждое $\alpha_n$ вещественно.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное измеримое пространство, и пусть $\phi : X \to \mathbb {C}$ — $\Omega$-измеримая функция. Пусть $\mathcal{D} = \left\{ f \in L^2(\mu ) : \phi f \in L^2(\mu )\right\}$, и определим $Af = \phi f$ для всех $f$ из $\mathcal{D}$. Найдите преобразование Кэли оператора $A$, когда $\phi$ вещественнозначна.

Пусть $S$ — односторонний сдвиг кратности 1 (см. упражнение IX.6.4); найдите симметричный оператор $A$ такой, что $S$ является преобразованием Кэли оператора $A$.

Пусть $U = S^*$, где $S$ — односторонний сдвиг кратности 1. Является ли $U$ преобразованием Кэли некоторого симметричного оператора $A$? Если да, найдите его.