Линейная алгебра

Пусть $p$, $q$, $r$ и $s$ — многочлены степени не выше 3. Какое из следующих двух условий, если оно вообще выполняется, является достаточным для вывода о том, что многочлены линейно зависимы?

Для аналитической функции $h$ на $\mathbb {C}$ пусть $h^{(i)}$ обозначает её $i$-ю производную, причём $h^{(0)} = h$. Предположим, что $f$ и $g$ — аналитические функции на $\mathbb {C}$, удовлетворяющие

при некоторых константах $a_{0}, \ldots , a_{n-1}, b_{0}, \ldots , b_{m-1} \in \mathbb {C}$. Покажите, что произведение $F = fg$ удовлетворяет

при некоторых константах $c_{0}, \ldots , c_{mn} \in \mathbb {C}$, не все из которых равны нулю.

Пусть $\mathbf{F}$ — конечное поле с $q$ элементами, и пусть $V$ — $n$-мерное векторное пространство над $\mathbf{F}$.

Пусть $\mathbf{F}$ — конечное поле порядка $q$, и пусть $V$ — двумерное векторное пространство над $\mathbf{F}$. Найдите число эндоморфизмов $V$, оставляющих неподвижным хотя бы один ненулевой вектор.

Пусть $GL_{2}(\mathbb {Z}^{m})$ обозначает мультипликативную группу обратимых матриц $2 \times 2$ над кольцом целых чисел по модулю $m$. Найдите порядок $GL_{2}(\mathbb {Z}^{p^{n}})$ для каждого простого $p$ и положительного целого $n$.

Пусть $\mathbf{F}_{p}$ обозначает поле из $p$ элементов ($p$ простое). Пусть $n$ — положительное целое число. Докажите, что существует преобразование $A \in GL_{n}(\mathbf{F}_{p})$ (группа обратимых линейных преобразований пространства $(\mathbf{F}_{p})^{n}$ в себя), которое, как перестановка ненулевых векторов $(\mathbf{F}_{p})^{n}$, действует как единственный цикл длины $p^{n}-1$.

Пусть $G$ — группа матриц $2 \times 2$ с определителем $1$ над четырёхэлементным полем $\mathbf{F}$. Пусть $S$ — множество прямых, проходящих через начало координат в $\mathbf{F}^{2}$. Покажите, что $G$ действует на $S$ точно.

Докажите следующие утверждения о кольце многочленов $\mathbf{F}[x]$, где $\mathbf{F}$ — произвольное поле.

Пусть $U$, $V$, $W$ — конечномерные подпространства векторного пространства. Докажите, что $\dim (U)+\dim (V)+\dim (W)-\dim (U+V+W) \geq \max \left\{ \dim (U \cap V), \dim (U \cap W), \dim (V \cap W)\right\}$.

Предположим, что $V$ — $n$-мерное векторное пространство над полем $\mathbf{F}$. Пусть $W \subset V$ — подпространство размерности $r < n$. Покажите, что

Покажите, что векторное пространство над бесконечным полем не может быть объединением конечного числа собственных подпространств.

Пусть $A$ — комплексная матрица $n \times n$, и пусть $C(A)$ — коммутант $A$; то есть множество комплексных матриц $B$ размера $n \times n$ таких, что $AB = BA$. (Очевидно, это подпространство $M_{n \times n}$ — векторного пространства всех комплексных матриц $n \times n$.) Докажите, что $\dim C(A) \geq n$.

Пусть $S$ — подпространство $M_{n \times n}$ (векторного пространства всех вещественных матриц $n \times n$), порождённое всеми матрицами вида $AB-BA$ с $A$ и $B$ из $M_{n \times n}$. Докажите, что $\dim (S) = n^{2}-1$.

Пусть $A$ и $B$ — подпространства конечномерного векторного пространства $V$ такие, что $A+B = V$. Пусть $n = \dim V$, $a = \dim A$ и $b = \dim B$. Пусть $S$ — множество тех эндоморфизмов $f$ пространства $V$, для которых $f(A) \subset A$ и $f(B) \subset B$. Докажите, что $S$ — подпространство множества всех эндоморфизмов $V$, и выразите размерность $S$ через $n$, $a$ и $b$.

Пусть $T$ — линейное преобразование векторного пространства $V$ в себя. Предположим, что $x \in V$ таков, что $T^{m}x = 0$, $T^{m-1}x \neq 0$ для некоторого положительного целого $m$. Покажите, что $x, Tx, \ldots , T^{m-1}x$ линейно независимы.

Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ — различные вещественные числа. Покажите, что $n$ экспоненциальных функций $e^{\alpha_{1}t}, e^{\alpha_{2}t}, \ldots , e^{\alpha_{n}t}$ линейно независимы над вещественными числами.

Пусть $V$ — вещественное векторное пространство размерности $n$ с положительно определённым скалярным произведением. Будем говорить, что два базиса $(a_{i})$ и $(b_{i})$ имеют одинаковую ориентацию, если матрица перехода от базиса $(a_{i})$ к базису $(b_{i})$ имеет положительный определитель. Предположим теперь, что $(a_{i})$ и $(b_{i})$ — ортонормированные базисы с одинаковой ориентацией. Покажите, что $(a_{i}+2b_{i})$ снова является базисом $V$ с той же ориентацией, что и $(a_{i})$.

Пусть $M$ — матрица с элементами из поля $\mathbf{F}$. Ранг строк матрицы $M$ над $\mathbf{F}$ — это максимальное число строк, линейно независимых (как векторов) над $\mathbf{F}$. Ранг столбцов определяется аналогично с использованием столбцов вместо строк.

Пусть вещественная матрица $A$ размера $n \times n$ диагонализуема и имеет одномерное нулевое пространство. Докажите, что ненулевой левый нулевой вектор $A$ не может быть ортогонален ненулевому правому нулевому вектору $A$.

Пусть $A$ — вещественная матрица $n \times n$, а $A^{t}$ — её транспонированная. Покажите, что $A^{t}A$ и $A^{t}$ имеют один и тот же образ.

Предположим, что $P$ и $Q$ — матрицы $n \times n$ такие, что $P^{2} = P$, $Q^{2} = Q$, и $1-(P+Q)$ обратима. Покажите, что $P$ и $Q$ имеют одинаковый ранг.

Пусть $A(m,n)$ — матрица размера $m \times n$ с элементами

где по определению $0^{0} = 1$. Рассматривая элементы $A(m,n)$ как представляющие классы вычетов (mod $p$), найдите ранг $A(m,n)$ над конечным полем $\mathbf{F}_{p} = \mathbb {Z}^{p}$ для всех $m, n \geq 1$ и всех простых $p$.

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над полем $K$. Докажите, что

Пусть $T$ — вещественная симметричная трёхдиагональная матрица размера $n \times n$:

(Все элементы, не лежащие на главной диагонали или на диагоналях непосредственно над и под ней, равны нулю.) Предположим, что $b_{j} \neq 0$ для всех $j$.

Докажите:

Пусть $A = (a_{ij})$ — вещественная матрица размера $n \times n$, удовлетворяющая условиям:

Покажите, что $\operatorname {det}\left(A\right) > 0$.

Пусть $A = (a_{ij})_{i,j=1}^{r}$ — квадратная матрица с целочисленными элементами.

Пусть $A$ — симметричная матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ ранга $n-1$. Докажите, что существует $k$ из множества $\left\{ 1,2,\ldots ,n\right\}$ такое, что матрица, получаемая вычёркиванием $k$-й строки и $k$-го столбца из $A$, имеет ранг $n-1$.

Пусть $\mathbb {R}^{x_{1}, \ldots , x_{n}}$ — кольцо многочленов над вещественным полем $\mathbb {R}$ от $n$ переменных $x_{1}, \ldots , x_{n}$. Пусть матрица $A$ — это матрица размера $n \times n$, $i$-я строка которой равна $(1, x_{i}, x_{i}^{2}, \ldots , x_{i}^{n-1})$, $i = 1, \ldots , n$. Покажите, что

Матрица вида

где $a_{i}$ — комплексные числа, называется матрицей Вандермонда.

Пусть $A$ и $B$ — унитарные матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Докажите, что $\left|\det (A+B)\right| \leq 2^{n}$.

Приведите пример непрерывной функции $v : \mathbb {R} \to \mathbb {R}^{3}$ такой, что $v(t_{1})$, $v(t_{2})$ и $v(t_{3})$ образуют базис $\mathbb {R}^{3}$ при любых различных точках $t_{1}, t_{2}, t_{3} \in \mathbb {R}$.

Пусть $f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}$ — непрерывные вещественнозначные функции на $[a,b]$. Покажите, что множество $\left\{ f_{1}, \ldots , f_{n}\right\}$ линейно зависимо на $[a,b]$ тогда и только тогда, когда

Пусть $M_{2 \times 2}$ — векторное пространство всех вещественных матриц $2 \times 2$. Пусть

и определим линейное отображение $L : M_{2 \times 2} \to M_{2 \times 2}$ формулой $L(X) = AXB$. Вычислите след и определитель $L$.

Пусть $V$ — векторное пространство всех вещественных матриц $3 \times 3$, и пусть $A$ — диагональная матрица

Вычислите определитель линейного преобразования $T$ на $V$, заданного формулой $T(X) = \frac{1}{2}(AX+XA)$.

Пусть $M_{3 \times 3}$ обозначает векторное пространство вещественных матриц $3 \times 3$. Для любой матрицы $A \in M_{3 \times 3}$ определим линейный оператор $L_{A} : M_{3 \times 3} \to M_{3 \times 3}$, $L_{A}(B) = AB$. Предположим, что определитель $A$ равен $32$, а минимальный многочлен равен $(t-4)(t-2)$. Чему равен след $L_{A}$?

Пусть $S$ обозначает векторное пространство вещественных кососимметричных матриц размера $n \times n$. Для невырожденной матрицы $A$ вычислите определитель линейного отображения $T_{A} : S \to S$, $T_{A}(X) = AXA^{t}$.

Пусть $M_{7 \times 7}$ обозначает векторное пространство вещественных матриц $7 \times 7$. Пусть $A$ — диагональная матрица в $M_{7 \times 7}$, имеющая $+1$ на четырёх диагональных позициях и $-1$ на трёх диагональных позициях. Определим линейное преобразование $T$ на $M_{7 \times 7}$ формулой $T(X) = AX-XA$. Какова размерность образа $T$?

Пусть $\mathbf{F}$ — поле. Для положительных целых $m$ и $n$ пусть $M_{m \times n}$ — векторное пространство матриц размера $m \times n$ над $\mathbf{F}$. Зафиксируем $m$ и $n$, а также матрицы $A$ и $B$ из $M_{m \times n}$. Определим линейное отображение $T$ из $M_{n \times m}$ в $M_{m \times n}$ формулой

Докажите, что если $m \neq n$, то $T$ необратимо.

Найдите все решения следующей бесконечной системы линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных $x_{1}, x_{2}, \ldots$:

Сколько свободных параметров требуется?

Если конечная однородная система линейных уравнений с рациональными коэффициентами имеет нетривиальное комплексное решение, обязана ли она иметь нетривиальное рациональное решение? Приведите доказательство или контрпример.

Пусть $A$ — вещественная матрица размера $m \times n$ с рациональными элементами, и пусть $b$ — $m$-набор рациональных чисел. Предположим, что система уравнений $Ax = b$ имеет решение $x$ в комплексном пространстве $\mathbb {C}^{n}$. Покажите, что уравнение имеет решение с рациональными компонентами, либо приведите контрпример.

Пусть $E$ и $F$ — векторные пространства над полем $K$, и пусть $S : E \to F$ — линейное отображение.

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство, и $T : V \to V$ — линейное преобразование с ядром размерности $k$. Покажите, что существует базис $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$ пространства $V$ такой, что $T\alpha_{k+1}, \ldots , T\alpha_{n}$ — базис образа $T$.

Пусть $V$ и $W$ — конечномерные векторные пространства над полем, и $T : V \to W$ — линейное преобразование. Пусть $X$ — подпространство $W$. Докажите, что

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство, и пусть $A$ и $B$ — линейные операторы на $V$. Докажите, что

Пусть $A$ и $B$ — линейные преобразования конечномерного векторного пространства $V$ в векторное пространство $W$ над полем $\mathbf{F}$, такие что

Пусть $L$ — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве $V$ над полем $\mathbf{F}$, и пусть $W \subset V$ — $L$-инвариантное подпространство. Пусть $L_{W}$ обозначает ограничение $L$ на $W$. Докажите, что характеристический многочлен $L_{W}$ делит характеристический многочлен $L$.

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над полем, $W$ — подпространство, и $f$ — эндоморфизм $V$, такой что $f(V) \subset W \subset V$. Докажите, что след $f$ равен следу $f|_{W}$ — ограничения $f$ на $W$.

Пусть $V$ — $n$-мерное векторное пространство над полем $\mathbf{F}$, и пусть $T : V \to V$ — линейное преобразование. Докажите, что $T$ имеет ненулевое инвариантное подпространство размерности не более $k$ тогда и только тогда, когда характеристический многочлен $T$ имеет множитель степени $k$ в $\mathbf{F}[t]$.

Пусть $T$ — линейное преобразование $\mathbb {R}^{n}$ в себя, и пусть $n > 1$. Докажите, что $\mathbb {R}^{n}$ обладает $T$-инвариантным подпространством $M$ размерности $2$ (то есть $TM \subset M$).

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над полем $\mathbf{F}$, и пусть $L : V \to V$ — линейное преобразование с характеристическим многочленом $\chi (t)$. Предположим, что $\chi (t) = \chi_{1}(t)\chi_{2}(t)$, где $\chi_{1}(t)$ и $\chi_{2}(t)$ — взаимно простые элементы $\mathbf{F}[t]$. Пусть $V_{i} = \left\{ v \in V \mid \chi_{i}(L)(v) = 0\right\}$ для $i = 1, 2$. Покажите, что $V$ является прямой суммой $V_{1}$ и $V_{2}$.

Пусть $T$ — линейное преобразование $\mathbb {Q}^{3}$ в себя, заданное формулой

Покажите, что если $x$ — произвольный ненулевой вектор из $\mathbb {Q}^{3}$, то $x$, $y = Tx$ и $z = Ty$ линейно независимы и, следовательно, образуют базис $\mathbb {Q}^{3}$.

Пусть $A$ и $B$ — линейные преобразования конечномерного вещественного векторного пространства $V$, такие что $A^{2} = A$ и $B^{2} = B$. Предположим, кроме того, что $1$ не является собственным значением $AB$. Докажите, что $1$ не является собственным значением $A+B$.

Пусть $V$ — конечномерное вещественное векторное пространство, $B : V \times V \to \mathbb {R}$ — невырожденная билинейная форма, и $T : V \to V$ — линейное отображение. Определим $T^{*}$ соотношением $B(Tv,w) = B(v,T^{*}w)$ для всех $v, w \in V$. Покажите, что $T$ и $T^{*}$ имеют одни и те же собственные значения.

Пусть $f_{1}, \ldots , f_{n}$ — линейные функционалы на конечномерном вещественном векторном пространстве $\mathbb {R}^{m}$, и предположим, что $f = (f_{1}, \ldots , f_{n}) : \mathbb {R}^{m} \to \mathbb {R}^{n}$ имеет ранг $n-1$. Покажите, что существует ненулевая точка $v \in \mathbb {R}^{m}$, удовлетворяющая: для всех $i$ либо $f_{i}(v) = 0$, либо найдётся $j \neq i$ такое, что $f_{i}(v)$ и $f_{j}(v)$ имеют противоположные (ненулевые) знаки.

Пусть $S$ — конечное подмножество $\mathbb {R}^{n}$, содержащее $0$, и пусть $d(s,t)$ обозначает обычное евклидово расстояние между точками $s, t \in \mathbb {R}^{n}$. Предположим, что $\varphi : S \to \mathbb {R}^{n}$ удовлетворяет $d(\varphi (s),\varphi (t)) = d(s,t)$ для всех $s, t \in S$ и $\varphi (0) = 0$. Докажите, что $\varphi$ продолжается до линейного преобразования $\mathbb {R}^{n}$ в себя.

Пусть $T : \mathbb {R}^{2} \to \mathbb {R}^{2}$ — изометрия (то есть $\left\| T(x)-T(y)\right\| = \left\| x-y\right\|$ для всех $x, y \in \mathbb {R}^{2}$). Докажите, что $T(x) = T(0)+U(x)$, где $U$ — ортогональное линейное преобразование.

Пусть $V$ — $n$-мерное векторное пространство вещественнозначных функций на множестве $X$. Докажите, что существуют точки $x_{1}, \ldots , x_{n}$ из $X$ и функции $f_{1}, \ldots , f_{n}$ из $V$, такие что $\operatorname {det}\left((f_{i}(x_{j}))\right) \neq 0$.

Пусть $X$ — множество. Докажите, что для любого конечномерного подпространства $V$ векторного пространства непрерывных вещественнозначных функций на $X$ существует базис $f_{1}, \ldots , f_{n}$ пространства $V$ и точки $x_{1}, \ldots , x_{n}$ из $X$, такие что $f_{i}(x_{j}) = \delta_{ij}$.

Докажите, что для каждого положительного целого $n$ существуют вещественные числа $c_{-n}, c_{-n+1}, \ldots , c_{n-1}, c_{n}$, такие что

для любого вещественного многочлена $p(x)$ степени не выше $2n$.

Пусть $T$ — линейный оператор на конечномерном вещественном векторном пространстве $V$. Предположим, что $T$ имеет $n$ различных вещественных собственных значений $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$, где $n = \dim V$. Покажите, что существует базис $V$, относительно которого матрица $T$ верхнетреугольна.

Пусть $\mathbf{F}$ — конечное поле. Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над $\mathbf{F}$. Докажите, что если $P : V \to V$ — обратимое линейное преобразование, то существует целое число $n \geq 1$, такое что $P^{n} = I$, где $I$ обозначает тождественное преобразование.

Пусть $A$ — вещественная матрица размера $n \times n$, такая что $A^{3} = 0$. Докажите, что $I+A$ обратима, и приведите формулу для её обратной.

Пусть $T$ — линейный оператор на трёхмерном вещественном векторном пространстве $V$.

Пусть $A$ — вещественная симметричная ортогональная матрица размера $n \times n$. Опишите $A$ геометрически при $n = 3$.

Пусть $R$ и $S$ — повороты в $\mathbb {R}^{3}$ вокруг двух осей, проходящих через начало координат. Покажите, что композиция $T = SR$ является поворотом.

Пусть $e = (a,b,c)$ — единичный вектор в $\mathbb {R}^{3}$. Пусть $T$ — линейное преобразование, отражающее каждый вектор относительно прямой, проходящей через начало координат в направлении $e$. Найдите матрицу, через $a$, $b$ и $c$, представляющую $T$ относительно стандартного базиса $\mathbb {R}^{3}$.

Пусть $T$ — линейное преобразование в $\mathbb {R}^{3}$, матрица которого в стандартном базисе ортогональна и имеет определитель $1$. Предположим, что $T$ не является тождественным преобразованием, но $T(1,1,1) = (1,1,1)$. Известно, что собственные значения $T$ равны $10$, $i$, $-i$, а минимальный многочлен $T$ имеет степень $3$. Вычислите матрицу $T$ в стандартном базисе.

Пусть $A$ — вещественная ортогональная матрица $3 \times 3$ с $\det A = 1$. (Такая матрица представляет вращение пространства $\mathbb {R}^{3}$.) Докажите, что $1$ является собственным значением $A$. (Это показывает, что у каждого вращения пространства $\mathbb {R}^{3}$ есть ось, то есть прямая, которая остаётся неподвижной.)