Векторные пространства

Пусть $p$, $q$, $r$ и $s$ — многочлены степени не выше 3. Какое из следующих двух условий, если оно вообще выполняется, является достаточным для вывода о том, что многочлены линейно зависимы?

Для аналитической функции $h$ на $\mathbb {C}$ пусть $h^{(i)}$ обозначает её $i$-ю производную, причём $h^{(0)} = h$. Предположим, что $f$ и $g$ — аналитические функции на $\mathbb {C}$, удовлетворяющие

при некоторых константах $a_{0}, \ldots , a_{n-1}, b_{0}, \ldots , b_{m-1} \in \mathbb {C}$. Покажите, что произведение $F = fg$ удовлетворяет

при некоторых константах $c_{0}, \ldots , c_{mn} \in \mathbb {C}$, не все из которых равны нулю.

Пусть $\mathbf{F}$ — конечное поле с $q$ элементами, и пусть $V$ — $n$-мерное векторное пространство над $\mathbf{F}$.

Пусть $\mathbf{F}$ — конечное поле порядка $q$, и пусть $V$ — двумерное векторное пространство над $\mathbf{F}$. Найдите число эндоморфизмов $V$, оставляющих неподвижным хотя бы один ненулевой вектор.

Пусть $GL_{2}(\mathbb {Z}^{m})$ обозначает мультипликативную группу обратимых матриц $2 \times 2$ над кольцом целых чисел по модулю $m$. Найдите порядок $GL_{2}(\mathbb {Z}^{p^{n}})$ для каждого простого $p$ и положительного целого $n$.

Пусть $\mathbf{F}_{p}$ обозначает поле из $p$ элементов ($p$ простое). Пусть $n$ — положительное целое число. Докажите, что существует преобразование $A \in GL_{n}(\mathbf{F}_{p})$ (группа обратимых линейных преобразований пространства $(\mathbf{F}_{p})^{n}$ в себя), которое, как перестановка ненулевых векторов $(\mathbf{F}_{p})^{n}$, действует как единственный цикл длины $p^{n}-1$.

Пусть $G$ — группа матриц $2 \times 2$ с определителем $1$ над четырёхэлементным полем $\mathbf{F}$. Пусть $S$ — множество прямых, проходящих через начало координат в $\mathbf{F}^{2}$. Покажите, что $G$ действует на $S$ точно.

Докажите следующие утверждения о кольце многочленов $\mathbf{F}[x]$, где $\mathbf{F}$ — произвольное поле.

Пусть $U$, $V$, $W$ — конечномерные подпространства векторного пространства. Докажите, что $\dim (U)+\dim (V)+\dim (W)-\dim (U+V+W) \geq \max \left\{ \dim (U \cap V), \dim (U \cap W), \dim (V \cap W)\right\}$.

Предположим, что $V$ — $n$-мерное векторное пространство над полем $\mathbf{F}$. Пусть $W \subset V$ — подпространство размерности $r < n$. Покажите, что

Покажите, что векторное пространство над бесконечным полем не может быть объединением конечного числа собственных подпространств.

Пусть $A$ — комплексная матрица $n \times n$, и пусть $C(A)$ — коммутант $A$; то есть множество комплексных матриц $B$ размера $n \times n$ таких, что $AB = BA$. (Очевидно, это подпространство $M_{n \times n}$ — векторного пространства всех комплексных матриц $n \times n$.) Докажите, что $\dim C(A) \geq n$.

Пусть $S$ — подпространство $M_{n \times n}$ (векторного пространства всех вещественных матриц $n \times n$), порождённое всеми матрицами вида $AB-BA$ с $A$ и $B$ из $M_{n \times n}$. Докажите, что $\dim (S) = n^{2}-1$.

Пусть $A$ и $B$ — подпространства конечномерного векторного пространства $V$ такие, что $A+B = V$. Пусть $n = \dim V$, $a = \dim A$ и $b = \dim B$. Пусть $S$ — множество тех эндоморфизмов $f$ пространства $V$, для которых $f(A) \subset A$ и $f(B) \subset B$. Докажите, что $S$ — подпространство множества всех эндоморфизмов $V$, и выразите размерность $S$ через $n$, $a$ и $b$.

Пусть $T$ — линейное преобразование векторного пространства $V$ в себя. Предположим, что $x \in V$ таков, что $T^{m}x = 0$, $T^{m-1}x \neq 0$ для некоторого положительного целого $m$. Покажите, что $x, Tx, \ldots , T^{m-1}x$ линейно независимы.

Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ — различные вещественные числа. Покажите, что $n$ экспоненциальных функций $e^{\alpha_{1}t}, e^{\alpha_{2}t}, \ldots , e^{\alpha_{n}t}$ линейно независимы над вещественными числами.

Пусть $V$ — вещественное векторное пространство размерности $n$ с положительно определённым скалярным произведением. Будем говорить, что два базиса $(a_{i})$ и $(b_{i})$ имеют одинаковую ориентацию, если матрица перехода от базиса $(a_{i})$ к базису $(b_{i})$ имеет положительный определитель. Предположим теперь, что $(a_{i})$ и $(b_{i})$ — ортонормированные базисы с одинаковой ориентацией. Покажите, что $(a_{i}+2b_{i})$ снова является базисом $V$ с той же ориентацией, что и $(a_{i})$.