7.3

Системы уравнений

[4/75%]
Показать
LaTeX
Задача 7.3.1

Найдите все решения следующей бесконечной системы линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных x1,x2,…x_{1}, x_{2}, \ldots:

x1+x3+x5=0x2+x4+x6=0x3+x5+x7=0 ⋮ \begin{align} x_{1}+x_{3}+x_{5} & = 0 \\ x_{2}+x_{4}+x_{6} & = 0 \\ x_{3}+x_{5}+x_{7} & = 0 \\ & \ \vdots \end{align}

Сколько свободных параметров требуется?

?
Задача 7.3.2
?
(1)

Используя только аксиомы поля F\mathbf{F}, докажите, что система из mm однородных линейных уравнений от nn неизвестных с m<nm < n и коэффициентами в F\mathbf{F} имеет ненулевое решение.

(2)

Используя пункт 1, покажите, что если VV — векторное пространство над F\mathbf{F}, порождённое конечным числом элементов, то любое максимальное линейно независимое подмножество VV имеет одно и то же число элементов.

Задача 7.3.3

Если конечная однородная система линейных уравнений с рациональными коэффициентами имеет нетривиальное комплексное решение, обязана ли она иметь нетривиальное рациональное решение? Приведите доказательство или контрпример.

?
Задача 7.3.4

Пусть AA — вещественная матрица размера m×nm \times n с рациональными элементами, и пусть bb — mm-набор рациональных чисел. Предположим, что система уравнений Ax=bAx = b имеет решение xx в комплексном пространстве Cn\mathbb {C}^{n}. Покажите, что уравнение имеет решение с рациональными компонентами, либо приведите контрпример.

?