Канонические формы

Пусть $A$ — комплексная матрица $n \times n$ конечного порядка, то есть $A^{k} = I$ при некотором положительном целом $k$. Докажите, что $A$ диагонализируема.

Докажите или приведите контрпример: если $A$ — обратимая комплексная матрица $n \times n$ и некоторая степень $A$ диагональна, то $A$ можно диагонализировать.

Пусть

Выразите $A^{-1}$ как многочлен от $A$ с вещественными коэффициентами.

Для $x \in \mathbb {R}$ пусть

Вычислите $A^{10}$ для матрицы

Вычислите $A^{100}$ и $A^{-7}$, где

Докажите или опровергните: для любой матрицы $2 \times 2$ $A$ над $\mathbb {C}$ существует матрица $2 \times 2$ $B$, такая что $A = B^{2}$.

Существует ли вещественная матрица $2 \times 2$ $A$, такая что

Приведите такую $A$ или докажите, что её не существует.

Для каких натуральных чисел $n$ существует матрица $2 \times 2$

с целыми элементами и порядком $n$; то есть $A^{n} = I$, но $A^{k} \neq I$ при $0 < k < n$?

См. также задачу 7.7.8.

Найдите квадратный корень из матрицы

Сколько квадратных корней имеет эта матрица?

Пусть $A$ обозначает матрицу

Для каких натуральных чисел $n$ существует комплексная матрица $4 \times 4$ $X$, такая что $X^{n} = A$?

Докажите или опровергните: существует вещественная матрица $A$ размера $n \times n$, такая что

тогда и только тогда, когда $n$ чётно.

Пусть $A$ — эрмитова матрица размера $n \times n$, удовлетворяющая условию

Покажите, что $A = I$.

Какие из следующих матричных уравнений имеют вещественное матричное решение $X$? (Предъявлять сами решения не обязательно.)

Найдите вещественную матрицу $B$, такую что

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство, а $T: V \to V$ — диагонализируемое линейное преобразование. Пусть $W \subset V$ — линейное подпространство, отображаемое в себя при $T$. Покажите, что ограничение $T$ на $W$ диагонализируемо.

Пусть $A$ и $B$ — диагонализируемые линейные преобразования $\mathbb {R}^{n}$ в себя, такие что $AB = BA$. Пусть $E$ — собственное подпространство $A$. Докажите, что ограничение $B$ на $E$ диагонализируемо.

Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство, а $A$ и $B$ — линейные операторы на $V$, такие что $AB = BA$. Докажите, что если $A$ и $B$ каждый диагонализируем, то существует базис $V$, одновременно диагонализующий $A$ и $B$.

Пусть $A$ и $B$ — комплексные матрицы $n \times n$. Докажите или опровергните каждое из следующих утверждений:

Пусть

Найдите вещественную матрицу $B$, такую что $B^{-1}AB$ диагональна.

Пусть $A: \mathbb {R}^{6} \to \mathbb {R}^{6}$ — линейное преобразование, такое что $A^{26} = I$. Покажите, что $\mathbb {R}^{6} = V_{1} \oplus V_{2} \oplus V_{3}$, где $V_{1}$, $V_{2}$ и $V_{3}$ — двумерные инвариантные подпространства для $A$.

Определите жорданову каноническую форму матрицы

Найдите собственные значения, собственные векторы и жорданову каноническую форму матрицы

рассматриваемой как матрица с элементами в $\mathbf{F}_{3} = \mathbb {Z}/3\mathbb {Z}$.

Пусть $A$ — комплексная матрица $n \times n$, а $\chi$ и $\mu$ — характеристический и минимальный многочлены $A$. Предположим, что

Определите жорданову каноническую форму $A$.

Пусть $M$ — матрица $n \times n$ над полем $\mathbf{F}$, все элементы которой равны $1$.

Пусть $M_{2 \times 2}$ обозначает векторное пространство комплексных матриц $2 \times 2$. Пусть

и пусть линейное преобразование $T: M_{2 \times 2} \to M_{2 \times 2}$ определено формулой $T(X) = XA-AX$. Найдите жорданову каноническую форму для $T$.

Пусть $M_{n}$ — векторное пространство комплексных матриц $n \times n$. Для $A$ из $M_{n}$ определим линейное преобразование $T_{A}$ на $M_{n}$ формулой $T_{A}(X) = AX-XA$. Докажите, что ранг $T_{A}$ не превосходит $n^{2}-n$.

Пусть $A$ — вещественная матрица $n \times n$, пусть $\xi (t)$ обозначает её характеристический многочлен, и пусть $g(t) \in \mathbb {R}^{t}$ — многочлен степени $n-1$, делящий $\xi (t)$. Каковы возможные значения ранга $g(A)$?

Найдите жорданову каноническую форму матрицы

Пусть $A$ и $B$ — комплексные матрицы размеров $3 \times 5$ и $5 \times 3$ соответственно, такие что

Найдите жорданову каноническую форму $BA$.

Пусть $A = (a_{ij})$ — комплексная матрица $n \times n$, такая что $a_{ij} \neq 0$, если $i=j+1$, но $a_{ij} = 0$, если $i \geq j+2$. Докажите, что $A$ не может иметь более одного жорданова блока для любого собственного значения.

Пусть $A$ — вещественная верхнетреугольная матрица $n \times n$, коммутирующая со своей транспонированной. Докажите, что $A$ диагональна.

Пусть $A$ — комплексная матрица $n \times n$. Докажите, что существует унитарная матрица $U$, такая что $B = UAU^{-1}$ верхнетреугольна: $B_{jk} = 0$ при $j > k$.

Пусть $b$ — вещественная ненулевая матрица $n \times 1$ (столбец). Положим $M = bb^{t}$ (матрица $n \times n$), где $b^{t}$ обозначает транспонирование $b$.

Пусть $M$ — обратимая вещественная матрица $n \times n$. Покажите, что существует разложение $M = UT$, в котором $U$ — вещественная ортогональная матрица $n \times n$, а $T$ — верхнетреугольная матрица с положительными диагональными элементами. Единственно ли это разложение?

Пусть $A$ — невырожденная вещественная матрица $n \times n$. Докажите, что существуют единственная ортогональная матрица $Q$ и единственная положительно определённая симметричная матрица $B$, такие что $A = QB$.

Пусть $A$ — комплексная матрица $2 \times 2$. Докажите, что ряд $I+A+A^{2}+\ldots$ сходится тогда и только тогда, когда каждое собственное значение $A$ имеет абсолютную величину меньше $1$.

Пусть $A$ — матрица $3 \times 3$

Определите все вещественные числа $a$, для которых предел $\lim_{n \to \infty } a^{n}A^{n}$ существует и отличен от нуля (как матрица).

Пусть $p$ — простое число. Покажите, что порядок каждого элемента $GL_{2}(\mathbf{F}_{p})$ делит либо $p^{2}-1$, либо $p(p-1)$.