Линейные преобразования

Пусть $E$ и $F$ — векторные пространства над полем $K$, и пусть $S : E \to F$ — линейное отображение.

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство, и $T : V \to V$ — линейное преобразование с ядром размерности $k$. Покажите, что существует базис $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$ пространства $V$ такой, что $T\alpha_{k+1}, \ldots , T\alpha_{n}$ — базис образа $T$.

Пусть $V$ и $W$ — конечномерные векторные пространства над полем, и $T : V \to W$ — линейное преобразование. Пусть $X$ — подпространство $W$. Докажите, что

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство, и пусть $A$ и $B$ — линейные операторы на $V$. Докажите, что

Пусть $A$ и $B$ — линейные преобразования конечномерного векторного пространства $V$ в векторное пространство $W$ над полем $\mathbf{F}$, такие что

Пусть $L$ — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве $V$ над полем $\mathbf{F}$, и пусть $W \subset V$ — $L$-инвариантное подпространство. Пусть $L_{W}$ обозначает ограничение $L$ на $W$. Докажите, что характеристический многочлен $L_{W}$ делит характеристический многочлен $L$.

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над полем, $W$ — подпространство, и $f$ — эндоморфизм $V$, такой что $f(V) \subset W \subset V$. Докажите, что след $f$ равен следу $f|_{W}$ — ограничения $f$ на $W$.

Пусть $V$ — $n$-мерное векторное пространство над полем $\mathbf{F}$, и пусть $T : V \to V$ — линейное преобразование. Докажите, что $T$ имеет ненулевое инвариантное подпространство размерности не более $k$ тогда и только тогда, когда характеристический многочлен $T$ имеет множитель степени $k$ в $\mathbf{F}[t]$.

Пусть $T$ — линейное преобразование $\mathbb {R}^{n}$ в себя, и пусть $n > 1$. Докажите, что $\mathbb {R}^{n}$ обладает $T$-инвариантным подпространством $M$ размерности $2$ (то есть $TM \subset M$).

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над полем $\mathbf{F}$, и пусть $L : V \to V$ — линейное преобразование с характеристическим многочленом $\chi (t)$. Предположим, что $\chi (t) = \chi_{1}(t)\chi_{2}(t)$, где $\chi_{1}(t)$ и $\chi_{2}(t)$ — взаимно простые элементы $\mathbf{F}[t]$. Пусть $V_{i} = \left\{ v \in V \mid \chi_{i}(L)(v) = 0\right\}$ для $i = 1, 2$. Покажите, что $V$ является прямой суммой $V_{1}$ и $V_{2}$.

Пусть $T$ — линейное преобразование $\mathbb {Q}^{3}$ в себя, заданное формулой

Покажите, что если $x$ — произвольный ненулевой вектор из $\mathbb {Q}^{3}$, то $x$, $y = Tx$ и $z = Ty$ линейно независимы и, следовательно, образуют базис $\mathbb {Q}^{3}$.

Пусть $A$ и $B$ — линейные преобразования конечномерного вещественного векторного пространства $V$, такие что $A^{2} = A$ и $B^{2} = B$. Предположим, кроме того, что $1$ не является собственным значением $AB$. Докажите, что $1$ не является собственным значением $A+B$.

Пусть $V$ — конечномерное вещественное векторное пространство, $B : V \times V \to \mathbb {R}$ — невырожденная билинейная форма, и $T : V \to V$ — линейное отображение. Определим $T^{*}$ соотношением $B(Tv,w) = B(v,T^{*}w)$ для всех $v, w \in V$. Покажите, что $T$ и $T^{*}$ имеют одни и те же собственные значения.

Пусть $f_{1}, \ldots , f_{n}$ — линейные функционалы на конечномерном вещественном векторном пространстве $\mathbb {R}^{m}$, и предположим, что $f = (f_{1}, \ldots , f_{n}) : \mathbb {R}^{m} \to \mathbb {R}^{n}$ имеет ранг $n-1$. Покажите, что существует ненулевая точка $v \in \mathbb {R}^{m}$, удовлетворяющая: для всех $i$ либо $f_{i}(v) = 0$, либо найдётся $j \neq i$ такое, что $f_{i}(v)$ и $f_{j}(v)$ имеют противоположные (ненулевые) знаки.

Пусть $S$ — конечное подмножество $\mathbb {R}^{n}$, содержащее $0$, и пусть $d(s,t)$ обозначает обычное евклидово расстояние между точками $s, t \in \mathbb {R}^{n}$. Предположим, что $\varphi : S \to \mathbb {R}^{n}$ удовлетворяет $d(\varphi (s),\varphi (t)) = d(s,t)$ для всех $s, t \in S$ и $\varphi (0) = 0$. Докажите, что $\varphi$ продолжается до линейного преобразования $\mathbb {R}^{n}$ в себя.

Пусть $T : \mathbb {R}^{2} \to \mathbb {R}^{2}$ — изометрия (то есть $\left\| T(x)-T(y)\right\| = \left\| x-y\right\|$ для всех $x, y \in \mathbb {R}^{2}$). Докажите, что $T(x) = T(0)+U(x)$, где $U$ — ортогональное линейное преобразование.

Пусть $V$ — $n$-мерное векторное пространство вещественнозначных функций на множестве $X$. Докажите, что существуют точки $x_{1}, \ldots , x_{n}$ из $X$ и функции $f_{1}, \ldots , f_{n}$ из $V$, такие что $\operatorname {det}\left((f_{i}(x_{j}))\right) \neq 0$.

Пусть $X$ — множество. Докажите, что для любого конечномерного подпространства $V$ векторного пространства непрерывных вещественнозначных функций на $X$ существует базис $f_{1}, \ldots , f_{n}$ пространства $V$ и точки $x_{1}, \ldots , x_{n}$ из $X$, такие что $f_{i}(x_{j}) = \delta_{ij}$.

Докажите, что для каждого положительного целого $n$ существуют вещественные числа $c_{-n}, c_{-n+1}, \ldots , c_{n-1}, c_{n}$, такие что

для любого вещественного многочлена $p(x)$ степени не выше $2n$.

Пусть $T$ — линейный оператор на конечномерном вещественном векторном пространстве $V$. Предположим, что $T$ имеет $n$ различных вещественных собственных значений $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$, где $n = \dim V$. Покажите, что существует базис $V$, относительно которого матрица $T$ верхнетреугольна.

Пусть $\mathbf{F}$ — конечное поле. Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над $\mathbf{F}$. Докажите, что если $P : V \to V$ — обратимое линейное преобразование, то существует целое число $n \geq 1$, такое что $P^{n} = I$, где $I$ обозначает тождественное преобразование.

Пусть $A$ — вещественная матрица размера $n \times n$, такая что $A^{3} = 0$. Докажите, что $I+A$ обратима, и приведите формулу для её обратной.

Пусть $T$ — линейный оператор на трёхмерном вещественном векторном пространстве $V$.

Пусть $A$ — вещественная симметричная ортогональная матрица размера $n \times n$. Опишите $A$ геометрически при $n = 3$.

Пусть $R$ и $S$ — повороты в $\mathbb {R}^{3}$ вокруг двух осей, проходящих через начало координат. Покажите, что композиция $T = SR$ является поворотом.

Пусть $e = (a,b,c)$ — единичный вектор в $\mathbb {R}^{3}$. Пусть $T$ — линейное преобразование, отражающее каждый вектор относительно прямой, проходящей через начало координат в направлении $e$. Найдите матрицу, через $a$, $b$ и $c$, представляющую $T$ относительно стандартного базиса $\mathbb {R}^{3}$.

Пусть $T$ — линейное преобразование в $\mathbb {R}^{3}$, матрица которого в стандартном базисе ортогональна и имеет определитель $1$. Предположим, что $T$ не является тождественным преобразованием, но $T(1,1,1) = (1,1,1)$. Известно, что собственные значения $T$ равны $10$, $i$, $-i$, а минимальный многочлен $T$ имеет степень $3$. Вычислите матрицу $T$ в стандартном базисе.

Пусть $A$ — вещественная ортогональная матрица $3 \times 3$ с $\det A = 1$. (Такая матрица представляет вращение пространства $\mathbb {R}^{3}$.) Докажите, что $1$ является собственным значением $A$. (Это показывает, что у каждого вращения пространства $\mathbb {R}^{3}$ есть ось, то есть прямая, которая остаётся неподвижной.)

Пусть $P$ — векторное пространство всех многочленов от одной переменной с вещественными коэффициентами. Пусть $E : P \to P$ — линейный оператор «продифференцировать и затем умножить на $x$», то есть $E(p) = xp'$. Докажите, что $E$ необратим.

Пусть $D$ — оператор дифференцирования на векторном пространстве $P$ всех многочленов от одной переменной с вещественными коэффициентами. Для данного многочлена $\pi (x)$ мы получаем оператор $\pi (D)$ на $P$. Покажите, что если $\pi (x)$ — неконстантный многочлен и $a$ — корень $\pi (x)$, то $(x-a)^{k}$ делит $\pi (x)$, где $k$ минимально при условии, что оператор $\pi (D)$ аннулирует все многочлены степени не выше $k$.

Пусть $D$ обозначает оператор дифференцирования $d/dx$ на (вещественном) векторном пространстве $V$ всех многочленов степени не выше $10$ от переменной $x$.

Пусть $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}$ — различные вещественные числа. Покажите, что существуют вещественные числа $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}$, такие что

для любого многочлена $p(t)$ степени не выше $n$.

Пусть $I_{1}, \ldots , I_{n}$ — непересекающиеся непустые замкнутые подынтервалы $\mathbb {R}$.