Ранг и определители

Пусть $M$ — матрица с элементами из поля $\mathbf{F}$. Ранг строк матрицы $M$ над $\mathbf{F}$ — это максимальное число строк, линейно независимых (как векторов) над $\mathbf{F}$. Ранг столбцов определяется аналогично с использованием столбцов вместо строк.

Пусть вещественная матрица $A$ размера $n \times n$ диагонализуема и имеет одномерное нулевое пространство. Докажите, что ненулевой левый нулевой вектор $A$ не может быть ортогонален ненулевому правому нулевому вектору $A$.

Пусть $A$ — вещественная матрица $n \times n$, а $A^{t}$ — её транспонированная. Покажите, что $A^{t}A$ и $A^{t}$ имеют один и тот же образ.

Предположим, что $P$ и $Q$ — матрицы $n \times n$ такие, что $P^{2} = P$, $Q^{2} = Q$, и $1-(P+Q)$ обратима. Покажите, что $P$ и $Q$ имеют одинаковый ранг.

Пусть $A(m,n)$ — матрица размера $m \times n$ с элементами

где по определению $0^{0} = 1$. Рассматривая элементы $A(m,n)$ как представляющие классы вычетов (mod $p$), найдите ранг $A(m,n)$ над конечным полем $\mathbf{F}_{p} = \mathbb {Z}^{p}$ для всех $m, n \geq 1$ и всех простых $p$.

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над полем $K$. Докажите, что

Пусть $T$ — вещественная симметричная трёхдиагональная матрица размера $n \times n$:

(Все элементы, не лежащие на главной диагонали или на диагоналях непосредственно над и под ней, равны нулю.) Предположим, что $b_{j} \neq 0$ для всех $j$.

Докажите:

Пусть $A = (a_{ij})$ — вещественная матрица размера $n \times n$, удовлетворяющая условиям:

Покажите, что $\operatorname {det}\left(A\right) > 0$.

Пусть $A = (a_{ij})_{i,j=1}^{r}$ — квадратная матрица с целочисленными элементами.

Пусть $A$ — симметричная матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ ранга $n-1$. Докажите, что существует $k$ из множества $\left\{ 1,2,\ldots ,n\right\}$ такое, что матрица, получаемая вычёркиванием $k$-й строки и $k$-го столбца из $A$, имеет ранг $n-1$.

Пусть $\mathbb {R}^{x_{1}, \ldots , x_{n}}$ — кольцо многочленов над вещественным полем $\mathbb {R}$ от $n$ переменных $x_{1}, \ldots , x_{n}$. Пусть матрица $A$ — это матрица размера $n \times n$, $i$-я строка которой равна $(1, x_{i}, x_{i}^{2}, \ldots , x_{i}^{n-1})$, $i = 1, \ldots , n$. Покажите, что

Матрица вида

где $a_{i}$ — комплексные числа, называется матрицей Вандермонда.

Пусть $A$ и $B$ — унитарные матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Докажите, что $\left|\det (A+B)\right| \leq 2^{n}$.

Приведите пример непрерывной функции $v : \mathbb {R} \to \mathbb {R}^{3}$ такой, что $v(t_{1})$, $v(t_{2})$ и $v(t_{3})$ образуют базис $\mathbb {R}^{3}$ при любых различных точках $t_{1}, t_{2}, t_{3} \in \mathbb {R}$.

Пусть $f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}$ — непрерывные вещественнозначные функции на $[a,b]$. Покажите, что множество $\left\{ f_{1}, \ldots , f_{n}\right\}$ линейно зависимо на $[a,b]$ тогда и только тогда, когда

Пусть $M_{2 \times 2}$ — векторное пространство всех вещественных матриц $2 \times 2$. Пусть

и определим линейное отображение $L : M_{2 \times 2} \to M_{2 \times 2}$ формулой $L(X) = AXB$. Вычислите след и определитель $L$.

Пусть $V$ — векторное пространство всех вещественных матриц $3 \times 3$, и пусть $A$ — диагональная матрица

Вычислите определитель линейного преобразования $T$ на $V$, заданного формулой $T(X) = \frac{1}{2}(AX+XA)$.

Пусть $M_{3 \times 3}$ обозначает векторное пространство вещественных матриц $3 \times 3$. Для любой матрицы $A \in M_{3 \times 3}$ определим линейный оператор $L_{A} : M_{3 \times 3} \to M_{3 \times 3}$, $L_{A}(B) = AB$. Предположим, что определитель $A$ равен $32$, а минимальный многочлен равен $(t-4)(t-2)$. Чему равен след $L_{A}$?

Пусть $S$ обозначает векторное пространство вещественных кососимметричных матриц размера $n \times n$. Для невырожденной матрицы $A$ вычислите определитель линейного отображения $T_{A} : S \to S$, $T_{A}(X) = AXA^{t}$.

Пусть $M_{7 \times 7}$ обозначает векторное пространство вещественных матриц $7 \times 7$. Пусть $A$ — диагональная матрица в $M_{7 \times 7}$, имеющая $+1$ на четырёх диагональных позициях и $-1$ на трёх диагональных позициях. Определим линейное преобразование $T$ на $M_{7 \times 7}$ формулой $T(X) = AX-XA$. Какова размерность образа $T$?

Пусть $\mathbf{F}$ — поле. Для положительных целых $m$ и $n$ пусть $M_{m \times n}$ — векторное пространство матриц размера $m \times n$ над $\mathbf{F}$. Зафиксируем $m$ и $n$, а также матрицы $A$ и $B$ из $M_{m \times n}$. Определим линейное отображение $T$ из $M_{n \times m}$ в $M_{m \times n}$ формулой

Докажите, что если $m \neq n$, то $T$ необратимо.