Общая теория матриц

Докажите, что коммутативная $\mathbb {C}$-алгебра комплексных матриц $2 \times 2$ имеет размерность не более $2$ над $\mathbb {C}$.

Докажите следующие три утверждения о вещественных матрицах $n \times n$.

Пусть $B$ обозначает матрицу

где $a$, $b$ и $c$ вещественны, а $\left|a\right|$, $\left|b\right|$ и $\left|c\right|$ различны. Покажите, что существует ровно четыре симметричные матрицы вида $BQ$, где $Q$ — вещественная ортогональная матрица с определителем $1$.

Пусть $P$ — вещественная матрица $n \times n$, такая что $x^{t}Py = -y^{t}Px$ для всех вектор-столбцов $x, y$ в $\mathbb {R}^{n}$. Докажите, что $P$ кососимметрична.

Пусть $A$ — вещественная кососимметричная матрица ($A_{ij} = -A_{ji}$). Докажите, что $A$ имеет чётный ранг.

Вещественная симметричная матрица $A$ размера $n \times n$ называется положительно полуопределённой, если $x^{t}Ax \geq 0$ для всех $x \in \mathbb {R}^{n}$. Докажите, что $A$ положительно полуопределена тогда и только тогда, когда $\operatorname {tr} AB \geq 0$ для каждой вещественной симметричной положительно полуопределённой матрицы $B$ размера $n \times n$.

Предположим, что $A$ и $B$ — вещественные матрицы, такие что

для всех $v \in \mathbb {R}^{n}$ и

Покажите, что $AB = BA = 0$, и приведите пример, где ни $A$, ни $B$ не равны нулю.

Пусть $A$ и $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {R}$, такие что $A+B$ обратима. Докажите, что

Предположим, что $A$ — вещественная матрица $n \times n$.

Пусть $M_{1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$, $M_{2} = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$, $M_{3} = \begin{pmatrix} 5 & 6.9 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$. Для каких (если таковые есть) $i$, $1 \leq i \leq 3$, последовательность $(M_{i}^{n})$ ограничена и отделена от $\infty$? Для каких $i$ последовательность отделена от $0$?

Пусть $A$ — комплексная матрица $n \times n$, все собственные значения которой равны $1$. Предположим, что множество $\left\{ A^{n} \mid n = 1, 2, \ldots \right\}$ ограничено. Покажите, что $A$ — единичная матрица.

Рассмотрим комплексную матрицу $3 \times 3$

где $a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb {C}$.

Пусть $A$ — вещественная матрица $n \times n$.

Пусть вещественная матрица $X$ размера $2n \times 2n$ имеет вид

где $A, B, C$ и $D$ — матрицы $n \times n$, коммутирующие друг с другом. Докажите, что $X$ обратима тогда и только тогда, когда $AD-BC$ обратима.

Пусть $GL_{2}(\mathbb {C})$ обозначает группу обратимых матриц $2 \times 2$ с коэффициентами в поле комплексных чисел. Пусть $PGL_{2}(\mathbb {C})$ обозначает факторгруппу $GL_{2}(\mathbb {C})$по нормальной подгруппе $\left\{ \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \mid \lambda \in \mathbb {C}^{*}\right\}$. Пусть $n$ — положительное целое число, и предположим, что $a, b$ — элементы $PGL_{2}(\mathbb {C})$ порядка ровно $n$. Докажите, что существует $c \in PGL_{2}(\mathbb {C})$, такой что $cac^{-1}$ является степенью $b$.

Пусть $B = (b_{ij})_{i,j=1}^{20}$ — вещественная матрица $20 \times 20$, такая что

Докажите, что $B$ невырождена.

Пусть

Покажите, что каждая вещественная матрица $B$, такая что $AB = BA$, имеет вид $sI+tA$, где $s, t \in \mathbb {R}$.

Пусть $A$ — матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$, не являющаяся скалярным кратным единичной матрицы $I$. Покажите, что любая матрица $X$ $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$, коммутирующая с $A$, имеет вид $X = \alpha I+\beta A$, где $\alpha , \beta \in \mathbb {C}$.

Пусть

Покажите, что всякая вещественная матрица $B$ такая, что $AB = BA$, имеет вид

для некоторых вещественных чисел $a$, $b$ и $c$.

Квадратная матрица $A$ называется нильпотентной, если $A^{k} = 0$ для некоторого положительного целого $k$.

Рассмотрим семейство квадратных матриц $A(\theta )$, определённых решением матричного дифференциального уравнения

с начальным условием $A(0) = I$, где $B$ — постоянная квадратная матрица.

Пусть $A$ — матрица $r \times r$ вещественных чисел. Докажите, что бесконечная сумма

матриц сходится (то есть для каждых $i, j$ сумма $(i,j)$-х элементов сходится), и, следовательно, что $e^{A}$ является корректно определённой матрицей.

Покажите, что

для любой комплексной матрицы $M$ размера $n \times n$, где $\exp (M)$ определяется как в задаче 7.9.23.

Пусть $T$ — комплексная матрица $n \times n$. Покажите, что

тогда и только тогда, когда все собственные значения $T$ имеют абсолютную величину меньше $1$.

Пусть $A$ и $B$ — комплексные матрицы $n \times n$. Докажите, что

Пусть $A$ и $B$ — вещественные матрицы $n \times n$, и $k$ — положительное целое число. Найдите

Пусть $A$ — комплексная матрица $n \times n$ такая, что $\operatorname {tr} A^{k} = 0$ для $k = 1, \ldots , n$. Докажите, что $A$ нильпотентна.

Пусть $N$ — нильпотентная комплексная матрица. Пусть $r$ — положительное целое число. Покажите, что существует комплексная матрица $A$ размера $n \times n$ такая, что

Пусть $A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n}$ — вещественная матрица $n \times n$ такая, что $a_{ii} \geq 1$ для всех $i$, и

Докажите, что $A$ обратима.

Покажите, что комплексная матрица $A = (a_{ij})$ размера $n \times n$, удовлетворяющая

для $1 \leq i \leq n$, обязательно обратима.

Пусть $A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n}$ — матрица $n \times n$ такая, что $\sum_{j=1}^{n} \left|a_{ij}\right| < 1$ для каждого $i$. Докажите, что $I-A$ обратима.

Пусть $A$ — вещественная матрица $n \times n$. Пусть $M$ обозначает максимум абсолютных величин собственных значений $A$.

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$, минимальный многочлен которой имеет степень $k$.

Пусть $\left\| x\right\|$ обозначает евклидову норму вектора $x$. Покажите, что для любой вещественной матрицы $M$ размера $m \times n$ существует единственный неотрицательный скаляр $\sigma$ и (возможно, неединственные) единичные векторы $u \in \mathbb {R}^{m}$ и $v \in \mathbb {R}^{n}$ такие, что