Билинейные и квадратичные формы и пространства со скалярным произведением

Пусть $f: \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {R}$ — функция, такая что

Пусть $A, B, \ldots , F$ — вещественные коэффициенты. Покажите, что квадратичная форма

положительно определена тогда и только тогда, когда

Найдите все вещественные числа $t$, при которых квадратичная форма $Q_{t}$ на $\mathbb {R}^{3}$, определённая как

положительно определена.

Пусть $\mathbb {R}^{3}$ — трёхмерное пространство с обычным скалярным произведением, и $(a,b,c) \in \mathbb {R}^{3}$ — вектор длины $1$. Пусть $W$ — плоскость, заданная уравнением $ax+by+cz = 0$. Найдите в стандартном базисе матрицу, представляющую ортогональную проекцию $\mathbb {R}^{3}$ на $W$.

Пусть $w$ — положительная непрерывная функция на $[0,1]$, $n$ — положительное целое число, и $P_{n}$ — векторное пространство вещественных многочленов, степень которых не превосходит $n$, снабжённое скалярным произведением

Для непрерывных вещественнозначных функций $f, g$ на отрезке $[-1,1]$ определим скалярное произведение $\left\langle f, g \right\rangle = \int_{-1}^{1} f(x)g(x) \, dx$. Найдите такой многочлен вида $p(x) = a+bx^{2}-x^{4}$, который ортогонален на $[-1,1]$ всем многочленам меньшей степени.

Пусть $E$ — конечномерное векторное пространство над полем $\mathbf{F}$. Предположим, что $B: E \times E \to \mathbf{F}$ — билинейное отображение (не обязательно симметричное). Определим подпространства

Докажите, что $\dim E_{1} = \dim E_{2}$.

Пусть $A$ — вещественная матрица $n \times n$, такая что $\left\langle Ax, x \right\rangle \geq 0$ для любого вещественного $n$-мерного вектора $x$. Покажите, что $Au = 0$ тогда и только тогда, когда $A^{t}u = 0$.

Вещественная матрица $T$ размера $n \times n$ называется положительно определённой, если $T$ симметрична и $\left\langle Tx, x \right\rangle > 0$ для всех ненулевых векторов $x \in \mathbb {R}^{n}$, где $\left\langle u, v \right\rangle$ — стандартное скалярное произведение. Предположим, что $A$ и $B$ — две положительно определённые вещественные матрицы.

Пусть $V$ — вещественное векторное пространство размерности $n$, и пусть $S: V \times V \to \mathbb {R}$ — невырожденная билинейная форма. Предположим, что $W$ — линейное подпространство $V$, такое что ограничение $S$ на $W \times W$ тождественно равно $0$. Покажите, что $\dim W \leq n/2$.

Пусть $A$ — симметричная матрица

Обозначим через $v$ вектор-столбец

в $\mathbb {R}^{3}$, а через $x^{t}$ — его транспонированный вектор $(x,y,z)$. Пусть $\left\| v\right\|$ обозначает длину вектора $v$. Когда $v$ пробегает множество векторов, для которых $v^{t}Av = 1$, покажите, что $\left\| v\right\|$ ограничена, и определите её точную верхнюю грань.

Индексом вещественной симметричной матрицы $A$ назовём число строго положительных собственных значений $A$ минус число строго отрицательных собственных значений. Пусть $A$ и $B$ — вещественные симметричные матрицы $n \times n$, такие что $x^{t}Ax \leq x^{t}Bx$ для всех матриц-столбцов $x$ размера $n \times 1$. Докажите, что индекс $A$ не превосходит индекса $B$.

Для $x, y \in \mathbb {C}^{n}$ пусть $\left\langle x, y \right\rangle$ — эрмитово скалярное произведение $\sum_{j} x_{j}\overline{y_{j}}$. Пусть $T$ — линейный оператор на $\mathbb {C}^{n}$, такой что $\left\langle Tx, Ty \right\rangle = 0$, если $\left\langle x, y \right\rangle = 0$. Докажите, что $T = kS$ для некоторого скаляра $k$ и некоторого унитарного оператора $S$: $\left\langle Sx, Sy \right\rangle = \left\langle x, y \right\rangle$ для всех $x$ и $y$.

Пусть $E$ обозначает конечномерное комплексное векторное пространство с эрмитовым скалярным произведением $\left\langle x, y \right\rangle$.

Пусть $a$ и $b$ — вещественные числа. Докажите, что существуют два ортогональных единичных вектора $u$ и $v$ в $\mathbb {R}^{3}$, такие что $u = (u_{1}, u_{2}, a)$ и $v = (v_{1}, v_{2}, b)$, тогда и только тогда, когда $a^{2}+b^{2} \leq 1$.