Собственные значения и собственные векторы

Пусть $M$ — вещественная матрица $3 \times 3$, такая что $M^{3} = I$, $M \neq I$.

Пусть $N$ — линейный оператор на $n$-мерном векторном пространстве, $n > 1$, такой что $N^{n} = 0$, $N^{n-1} \neq 0$. Докажите, что не существует оператора $X$ с $X^{2} = N$.

Пусть $\mathbf{F}$ — поле, $n$ и $m$ — положительные целые числа, а $A$ — матрица $n \times n$ с элементами из $\mathbf{F}$, такая что $A^{m} = 0$. Докажите, что $A^{n} = 0$.

Пусть $B$ — матрица $3 \times 3$, ядро которой двумерно, и пусть $\chi (\lambda )$ — характеристический многочлен $B$. Для каждого из утверждений ниже приведите либо доказательство, либо контрпример.

Предположим, что минимальный многочлен линейного оператора $T$ на семимерном векторном пространстве равен $x^{2}$. Каковы возможные значения размерности ядра $T$?

Пусть $L$ — вещественная симметричная матрица $n \times n$, для которой $0$ является простым собственным значением, и пусть $v \in \mathbb {R}^{n}$.

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над полем рациональных чисел $\mathbb {Q}$, и пусть $M$ — автоморфизм $V$, не оставляющий неподвижным ни одного ненулевого вектора из $V$. Предположим, что $M^{p}$ является тождественным отображением на $V$, где $p$ — простое число. Покажите, что размерность $V$ делится на $p-1$.

Пусть $\mathbf{F}$ — поле, $V$ — конечномерное векторное пространство над $\mathbf{F}$, а $T$ — линейное преобразование $V$ в $V$, минимальный многочлен которого, $\mu$, неприводим над $\mathbf{F}$.

Предположим, что $A$ и $M$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$, $A$ обратима и $AMA^{-1} = M^{2}$. Докажите, что ненулевые собственные значения $M$ являются корнями из единицы.

Докажите, что матрица

имеет два положительных и два отрицательных собственных значения (с учётом кратности).

Докажите, что матрица

имеет одно положительное и одно отрицательное собственное значение.

Для произвольных элементов $a$, $b$ и $c$ поля $\mathbf{F}$ вычислите минимальный многочлен матрицы

Пусть $A$ — комплексная матрица $n \times n$, такая что три матрицы $A+I$, $A^{2}+I$, $A^{3}+I$ все унитарны. Докажите, что $A$ — нулевая матрица.

Пусть $k$ — поле и $n \geq 1$. Докажите, что следующие свойства матрицы $A$ размера $n \times n$ с элементами из $k$ эквивалентны:

• $A$ является скалярным кратным единичной матрицы.

• Каждый ненулевой вектор $v \in k^{n}$ является собственным вектором $A$.

Предположим, что $A$ и $B$ — эндоморфизмы конечномерного векторного пространства $V$ над полем $\mathbf{F}$. Докажите или опровергните следующие утверждения:

Пусть $A$ и $B$ — вещественные симметричные матрицы $n \times n$, такие что $AB = BA$. Докажите, что у $A$ и $B$ есть общий собственный вектор в $\mathbb {R}^{n}$.

Пусть $S$ — непустое коммутирующее множество комплексных матриц $n \times n$ ($n \geq 1$). Докажите, что элементы $S$ имеют общий собственный вектор.

Пусть $A$ и $B$ — комплексные матрицы $n \times n$, такие что $AB = BA^{2}$, и предположим, что у $A$ нет собственных значений с абсолютным значением $1$. Докажите, что у $A$ и $B$ есть общий (ненулевой) собственный вектор.

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем. Линейный оператор $T : V \to V$ называется вполне приводимым, если для любого линейного подпространства $E \subset V$, инвариантного относительно $T$, то есть $T(E) \subset E$, существует линейное подпространство $F \subset V$, инвариантное относительно $T$, такое что $V = E \oplus F$. Докажите, что $T$ вполне приводим тогда и только тогда, когда $V$ имеет базис из собственных векторов.

Пусть $V$ — векторное пространство последовательностей $(a_{n})$ комплексных чисел. Оператор сдвига $S : V \to V$ определяется формулой

Пусть $T$ — линейное преобразование на конечномерном $\mathbb {C}$-векторном пространстве $V$, и пусть $f$ — многочлен с коэффициентами из $\mathbb {C}$. Если $\lambda$ — собственное значение $T$, покажите, что $f(\lambda )$ является собственным значением $f(T)$. Всякое ли собственное значение $f(T)$ обязательно получается таким образом?

Пусть $A$ — матрица $n \times n$, имеющая нули на главной диагонали и единицы во всех остальных позициях. Найдите собственные значения и собственные подпространства $A$ и вычислите $\operatorname {det}\left(A\right)$.

Пусть $A$ и $B$ — две самосопряжённые (то есть эрмитовы) матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$, и предположим, что $A$ положительно определена. Докажите, что все собственные значения $AB$ вещественны.

Пусть $a$, $b$, $c$ и $d$ — вещественные числа, не все равные нулю. Найдите собственные значения следующей матрицы $4 \times 4$ и опишите разложение пространства $\mathbb {R}^{4}$ на собственные подпространства:

Покажите, что следующие три условия эквивалентны для вещественной симметричной матрицы $A$ размера $3 \times 3$, собственные значения которой равны $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$ и $\lambda_{3}$:

Пусть

— вещественная матрица с $a, b, c, d > 0$. Покажите, что у $A$ есть собственный вектор

с $x, y > 0$.

Пусть $n$ — положительное целое число, и пусть $A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n}$ — матрица $n \times n$ с $a_{ii} = 2$, $a_{i,i\pm 1} = -1$, и $a_{ij} = 0$ в остальных случаях; то есть

Докажите, что каждое собственное значение $A$ является положительным вещественным числом.

Пусть $A$ — вещественная симметричная матрица $n \times n$ с неотрицательными элементами. Докажите, что у $A$ есть собственный вектор с неотрицательными координатами.

Пусть $A_{n}$ — матрица $n \times n$, элементы которой $a_{jk}$ заданы формулой

Докажите, что собственные значения $A$ симметричны относительно начала координат.

Пусть $A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n}$ — вещественная матрица $n \times n$ с неотрицательными элементами, такая что

Докажите, что абсолютное значение ни одного собственного значения $A$ не превышает $1$.

Пусть $S$ — специальная ортогональная (то есть ортогональная с определителем $1$) матрица $n \times n$, где $n$ нечётно.

Пусть $A$ и $B$ — эрмитовы матрицы $m \times m$, такие что все собственные значения $A$ лежат в $[a,a']$, а все собственные значения $B$ лежат в $[b,b']$. Покажите, что все собственные значения $A+B$ лежат в $[a+b,a'+b']$.

Пусть $A$ — вещественная симметричная матрица $n \times n$ с $a_{11} = a_{22} = \cdots = a_{nn} = 2$ и $a_{ij} \in \left\{ -1,0\right\}$ при $i \neq j$. Предположим, что $k$ внедиагональных элементов в первой строке и столбце равны $-1$, а остальные равны $0$, и предположим, что это максимальное число $-1$ в любой строке или столбце. Покажите, что все собственные значения $A$ лежат в интервале $[k-1, k+1]$.

Пусть $A$ и $B$ — вещественные симметричные матрицы $n \times n$, и предположим, что $B$ положительно определена. Покажите, что существует ненулевой вектор $x$, максимизирующий

и что любой такой $x$ является собственным вектором матрицы $B^{-1}A$.

Пусть $A$ и $B$ — вещественные симметричные матрицы $n \times n$, и предположим, что $A$ положительно определена. Докажите, что

существует для каждого $y \in \mathbb {R}^{n}$, $y \neq 0$.