МЕРА ЛЕБЕГА

Пусть $x \in \mathbb {R}$ и $k \geqslant 2$. Тогда $\lambda (\left\{ x\right\} )=\lambda_{k}\left(\left\{ x\right\} \times \mathbb {R}^{k-1}\right)=0$. Далее, для любого $j \in \left\{ 1, \ldots , k-1\right\}$ и $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{j}$ имеем $\lambda_{k}\left(\left\{ \boldsymbol {x}\right\} \times \mathbb {R}^{k-j}\right)=0$.

Перенумеруем рациональные числа в $(0,1]$ как $\left\{ q_{1}, q_{2}, \ldots \right\}$. Для произвольно малого $\varepsilon >0$ удалим интервал $A_{n}=\left(q_{n}-\varepsilon / 2^{n+1}, q_{n}+\varepsilon / 2^{n+1}\right) \cap (0,1]$. Пусть $A=\bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n}$. Тогда $\bar{\lambda }(A) \leqslant \varepsilon$, несмотря на то, что $A$ является открытым плотным подмножеством $(0,1]$. Также имеем $\bar{\lambda }((0,1] \backslash A) \geqslant 1-\varepsilon$, хотя $(0,1] \backslash A$ является нигде не плотным подмножеством $(0,1]$.

Не может существовать замкнутое подмножество $(0,1]$ с пустой внутренностью, но имеющее $\bar{\lambda }$-меру, равную единице.

$\lambda_{k}$ неатомична: любое $A \in \mathscr {B}^{k}$ с $\lambda_{k}(A)>0$ имеет собственное подмножество $B \in \mathscr {B}^{k}$ с $0<\lambda_{k}(B)<\lambda_{k}(A)$. Это вынуждает $\bar{\lambda }_{k}$ также быть неатомичной.

Пусть $k \geqslant 2$. Существует несчётное множество $U \in \mathscr {B}^{k}$ с $\lambda_{k}(U)=0$.

$\left|\mathscr {L}^{k}\right|=2^{\mathrm{c}}$ и $\left|\mathscr {B}^{k}\right|=\mathrm{c}$ для каждого $k \in \mathbb {N}$.

Предположим, что $\mathscr {L}=2^{\mathbb {R}}$; в частности, каждое из $2^{\mathrm{c}}$ подмножеств $\left[0,1\right]$ является лебеговым множеством. Пусть $B=\left\{ \bar{\lambda }(A): A \subseteq [0,1], \bar{\lambda }(A) \notin A\right\}$. Рассмотрение множества $B$ (которое принадлежит $\mathscr {L}$ по предположению) приводит к противоречию.

Пусть $k \geqslant 2$. Каждая прямая принадлежит $\mathscr {B}^{k}$, имеет $\lambda_{k}$-меру, равную нулю, и, следовательно, имеет $\bar{\lambda }_{k}$-меру.

Пусть $\mathscr {B}_{(0,1]}=\sigma (\left\{ (a, b]:(a, b] \subseteq (0,1]\right\} )$.

Пусть $\mu : \mathscr {B}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ — мера, приписывающая конечную меру ограниченным $\mathscr {B}^{k}$-множествам. Далее, предположим, что $\mu$ инвариантна относительно сдвигов: $\mu (B \oplus \boldsymbol {x})=\mu (B)$ для всех $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$. Тогда существует $c>0$ такое, что $\mu (B)=c \lambda_{k}(B)$ для всех $B \in \mathscr {B}^{k}$.

Пусть $A \in \mathscr {L}$ таково, что $\bar{\lambda }(A)>0$, и пусть $c \in [0,1)$. Существует открытый интервал $U$ такой, что $\bar{\lambda }(A \cap U) \geqslant c \lambda (U) .^{1}$

Пусть $A \in \mathscr {L}$ содержит открытый интервал. Тогда существует $a>0$ такое, что $(-a, a)$ содержится в $D(A)=\left\{ x-y: x, y \in A\right\}$.

Пусть $A \in \mathscr {L}$ таково, что $\bar{\lambda }(A)>0$. Тогда существует $a>0$ такое, что $(-a, a)$ содержится в $D(A)=\left\{ x-y: x, y \in A\right\}$.

Пусть $A$ — плотное подмножество $\mathbb {R}$. Тогда $c A=\left\{ c a: a \in A\right\}$ плотно для любого $c \neq 0$.

Пусть $\xi$ — иррациональное число.

Для $x, y \in \mathbb {R}$ запишем $x \sim y$ тогда и только тогда, когда $x-y \in A=\left\{ n+m \xi : n, m \in \mathbb {Z}\right\}$, где $\xi$ — фиксированное иррациональное число, как в предыдущем упражнении. Тогда $\sim$ является отношением эквивалентности, и, следовательно, $\mathbb {R}$ может быть разбито на непересекающиеся классы эквивалентности.

Теперь мы применим (AC), чтобы образовать множество $E_{0}$, состоящее ровно из одного элемента каждого класса эквивалентности из предыдущего упражнения. Теперь покажем, что $E_{0} \notin \mathscr {L}$.

В сочетании с предыдущими упражнениями, невозможно, чтобы мера Лебега была определена для каждого подмножества $\mathbb {R}$. То есть продолжение-мера $\mu$ функции $\Delta_{F}$ [где $F \in \mathfrak {S}$ — тождественная функция] с полукольца $\mathcal{A}$, состоящего из $\varnothing$ и ограниченных промежутков rsc-типа $(a, b]$, на $2^{\mathbb {R}}$ не существует.

Пусть $B \in \mathscr {L}$ таково, что $\bar{\lambda }(B)>0$. Мы покажем, что существует $E_{1} \subseteq B$ с $E_{1} \notin \mathscr {L}$, следуя приведённому ниже плану. Множество $A$, встречающееся ниже, — это множество $A$ из упражнения 4.3.7, состоящее из чисел $n+m \xi$, где $n, m \in \mathbb {Z}$ и $\xi$ — фиксированное иррациональное число.

Пусть $A \in \mathscr {L}$, пусть $B$ — плотное подмножество $\mathbb {R}$, и предположим, что $\bar{\lambda }(A \triangle (A \oplus x))=0$ для каждого $x \in B$. Тогда либо $\bar{\lambda }(A)=0$, либо $\bar{\lambda }(A^{c})=0$. Это упражнение не зависит от предыдущих упражнений.

Напомним, что линейное преобразование $T: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \mathbb {R}^{k}$ (для $k \geqslant 2$) называется специальным, если $T$ является отображением одного из следующих видов: матрица перестановки размера $k \times k$ (утверждение 4); $T(\boldsymbol {x})=(p x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{k})'$ для некоторого $p \neq 0$ (утверждение 5); $T(\boldsymbol {x})=(x_{1}+x_{2}, x_{2}, \ldots , x_{k})'$ (утверждение 6); или $T(\boldsymbol {x})=(x_{1}-x_{2}, x_{2}, \ldots , x_{k})'$ (утверждение 7). Матрицы, соответствующие таким преобразованиям, называются специальными матрицами. Обратная к специальной матрице является специальной матрицей.

Любая невырожденная матрица $\mathbf{T}$ размера $k \times k$ может быть записана в виде конечного произведения $\mathbf{T}_{N} \cdots \mathbf{T}_{2} \mathbf{T}_{1}$ невырожденных матриц размера $k \times k$, где каждая матрица $\mathbf{T}_{j}$ невырождена и произвольно обозначает матрицу, соответствующую любому из специальных линейных преобразований из $\mathbb {R}^{k}$ в $\mathbb {R}^{k}$, описанных ранее.

Указание: найдите конечную последовательность $\mathbf{T}_{1}, \cdots , \mathbf{T}_{N_{1}}$ специальных матриц такую, что

Затем найдите другую конечную последовательность матриц $\mathbf{T}_{N_{1}+1}, \cdots , \mathbf{T}_{N_{1}+N_{2}}$ такую, что

Затем найдите ещё одну конечную последовательность матриц $\mathbf{T}_{N_{2}+1}, \cdots , \mathbf{T}_{N_{2}+N_{3}}$ такую, что

Покажите, что указанная выше матрица содержит обратимую подматрицу размера $(k-1) \times (k-1)$ [пустое место в приведённой выше матрице], к которой можно повторно применить всю эту процедуру, не нарушая единиц и нулей приведённой выше матрицы, чтобы получить матрицу вида

Покажите, что мы можем продолжать эту процедуру до тех пор, пока у нас не появится [записанная символически] последовательность $\mathbf{T}_{1}, \cdots , \mathbf{T}_{\alpha +\beta }$ специальных матриц такая, что

Следовательно,

Поскольку обратная к специальной матрице является специальной матрицей по упражнению 4.4.1, доказательство завершено. Это даёт план доказательства утверждения 10.

Отображение $F: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \mathbb {R}^{k}$ называется движением [на $\mathbb {R}^{k}$], если существуют $\boldsymbol {x}_{0} \in \mathbb {R}^{k}$ и ортонормированная матрица $\mathbf{O}$ такие, что $F(\boldsymbol {x})=\mathbf{O} \boldsymbol {x}+\boldsymbol {x}_{0}$ для всех $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$.

Пусть $\boldsymbol {a}_{1}, \cdots , \boldsymbol {a}_{k} \in \mathbb {R}^{k}$, и определим

Используя основной результат данного раздела, покажите, что $\lambda_{k}(A)$ равно абсолютной величине определителя матрицы, столбцами которой являются $\boldsymbol {a}_{1}, \cdots , \boldsymbol {a}_{k}$.

Рассмотрим параллелограмм с вершинами $(0,0)$, $(a_{1}, 0)$, $(h, a_{2})$ и $(a_{1}+h, a_{2})$, где $a_{1}, a_{2}>0$ и $0 \leqslant h \leqslant a_{1}$. Найдите матрицу $\mathbf{T}$, отображающую единичный квадрат на данный параллелограмм, и получите формулу площади параллелограмма, используя основной результат данного раздела.

Используя упражнение 14 раздела 2.2, дайте быстрое доказательство того, что мера Лебега любой гиперплоскости должна быть равна нулю.

Если $\mathbf{T}: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \mathbb {R}^{k}$ — вырожденное линейное преобразование, то не обязательно имеем $\mathbf{T} A^{c}=(\mathbf{T} A)^{c}$ для каждого $A \subseteq \mathbb {R}^{k}$. Также, не обязательно, что $\left\{ \mathbf{T} A_{\gamma }: \gamma \in \Gamma \right\}$ является непересекающимся семейством подмножеств $\mathbb {R}^{k}$, когда $\left\{ A_{\gamma }: \gamma \in \Gamma \right\}$ является непересекающимся семейством подмножеств $\mathbb {R}^{k}$.

Пусть $\mathbf{T}$ обозначает невырожденную матрицу размера $k \times k$, и пусть $\gamma_{1} \geqslant \cdots \geqslant \gamma_{k}$ обозначают [положительные] собственные значения $\mathbf{T}' \mathbf{T}$. Тогда $\gamma_{k} \left\| \boldsymbol {x}\right\| \leqslant \left\| \mathbf{T} \boldsymbol {x}\right\| \leqslant \gamma_{1} \left\| \boldsymbol {x}\right\|$ для каждого $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$. Это обобщает утверждение 1.

Докажите утверждение 7, соответствующим образом адаптировав доказательство утверждения 6.

Докажите утверждение 11(i) при $k=1$.

Пусть $T(x)=px$ для некоторого $p \neq 0$. По утверждению 3, $A \in \mathscr {B}$ вынуждает $pA=\left\{ pa: a \in A\right\} \in \mathscr {B}$. Пусть $\nu (A)=\left|p\right| \lambda (A)$. Покажите, что $\nu$ является мерой с областью определения $\mathscr {B}$, затем покажите, что $\nu (A)=\lambda (pA)$ всякий раз, когда $A \in \mathcal{A}_{k}$. Обратитесь к теореме единственности из раздела 3.5, чтобы завершить рассуждение.

Пусть $E \notin \mathscr {L}^{k}$ обозначает множество, построенное в данном разделе, и пусть $A \subseteq E$ таково, что $A \in \mathscr {L}^{k}$. Тогда $\bar{\lambda }_{k}(A)=0$.

Не существует инвариантной относительно сдвигов меры $\mu$, определённой для всех подмножеств $\mathbb {R}^{k}$, такой что $\mu ((\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}])=\prod_{i=1}^{k}(b_{i}-a_{i})$ для всех ограниченных $k$-мерных промежутков rsc-типа $(\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}]$.

Вот альтернативное, но весьма похожее построение множества, не принадлежащего $\mathscr {L}$. Мы будем рассматривать $(0,1]$ в качестве нашего пространства. Пусть $\dot{+}$ обозначает сложение по модулю 1: для $x, y \in (0,1]$,

Для каждого $A \subseteq (0,1]$ и $x \in (0,1]$ мы будем [только для этого упражнения] записывать $A \oplus x$ как сдвиг по модулю 1: $A \oplus x=\left\{ a \mathbin {\dot{+}} x: a \in A\right\}$. Наконец, [только для этого упражнения] мы будем обозначать через $\mathbb {Q}$ рациональные числа из $(0,1]$.

Докажите следующие утверждения.

Пусть $A \in \mathscr {L}^{k}$ таково, что $\bar{\lambda }_{k}(A)>0$. Существуют $\boldsymbol {x}, \boldsymbol {y} \in A$ такие, что $\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y} \in \mathbb {Q}^{k}$.

Пусть $T: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ таково, что $T \boldsymbol {x}=x_{1}$ для всех $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{2}$. То есть $T$ проецирует точки [перпендикулярно] на ось $x_{1}$.

Для любого линейного отображения $T$ [вырожденного или невырожденного], определённого на $\mathbb {R}^{k}$, $A \in \mathscr {L}^{k}$ вынуждает $TA \in \mathscr {L}^{k}$.

Если $x \in [0,1]$ имеет конечное троичное разложение, заканчивающееся двумя или более единицами, то $x \notin C$.

Пусть $x \in C$.

$1 / 4 \in C$, хотя $1 / 4$ не является концом никакого удалённого интервала $J_{d}$. Также $0,1 \in C$.

Существует определённая симметрия относительно $C$.

$\left\{ x-y: x, y \in C\right\} =[-1,1]$ и $\left\{ x+y: x, y \in C\right\} =[0,2]$, так что

То есть, хотя $\lambda (C)=0$, как $C \oplus C$, так и $C \ominus C$ имеют положительную меру Лебега.

$C$ совершенно: каждая $x \in C$ является пределом последовательности различных точек $C$.