4.7

Лебеговское неборелевское множество

[3/0%]
Показать
LaTeX
Задача 4.7.1

Постройте множество из Lk−Bk\mathscr {L}^{k} - \mathscr {B}^{k} для каждого k⩾2k \geqslant 2.

?
Примечание.
?

При k⩾2k \geqslant 2 существуют весьма простые несчётные борелевские множества с мерой Лебега, равной нулю, а именно гиперплоскости. Используйте их и подходящий гомеоморфизм для проведения построения. В качестве альтернативы, ответ можно найти, отчасти неявно данный в разделе 4.2.

Задача 4.7.2

Гомеоморфный образ борелевского множества является борелевским множеством.

?
Задача 4.7.3

Гомеоморфный образ лебегова множества не обязательно является лебеговым множеством. Следовательно, лебеговы и борелевские множества ведут себя различным образом в этом отношении.

?
Примечание.
?

Из построения, ϕ−1(B)∈L\phi^{-1}(B) \in \mathscr {L}. Образ ϕ−1(B)\phi^{-1}(B) при гомеоморфизме ϕ\phi есть B∉LB \notin \mathscr {L}.