Банк задач по математике

Задача 4.5.1

Пусть $E \notin \mathscr {L}^{k}$ обозначает множество, построенное в данном разделе, и пусть $A \subseteq E$ таково, что $A \in \mathscr {L}^{k}$ . Тогда $\bar{\lambda }_{k}(A)=0$ .

?

Примечание.

?

Построение данного раздела: для каждых $\boldsymbol {x}$ и $\boldsymbol {y}$ в $\mathbb {R}^{k}$ запишем $\boldsymbol {x} \sim \boldsymbol {y}$ тогда и только тогда, когда существует $\boldsymbol {r} \in \mathbb {Q}^{k}$ такое, что $\boldsymbol {x}+\boldsymbol {r}=\boldsymbol {y}$ ; тогда $\sim$ является отношением эквивалентности на $\mathbb {R}^{k}$ , определяющим бесконечное число классов эквивалентности, каждый из которых сам бесконечен. Применяя аксиому выбора, образуем множество $E \subseteq \mathbb {R}^{k}$ , состоящее ровно из одного элемента каждого класса эквивалентности, и рассмотрим семейство $\left\{ E \oplus \boldsymbol {r}: \boldsymbol {r} \in \mathbb {Q}^{k}\right\}$ сдвигов $E$ на элементы $\mathbb {Q}^{k}$ . Утверждение 2: если $\boldsymbol {r}_{1}, \boldsymbol {r}_{2} \in \mathbb {Q}^{k}$ различны, то $E \oplus \boldsymbol {r}_{1}$ и $E \oplus \boldsymbol {r}_{2}$ не пересекаются. Утверждение 3: $\mathbb {R}^{k}=\bigcup \left\{ (E \oplus \boldsymbol {r}): \boldsymbol {r} \in \mathbb {Q}^{k}\right\}$ , причём объединение непересекающееся. Утверждение 4: $\lambda_{k}^{*}(E)>0$ . Утверждение 5: $\sup \left\{ \lambda_{k}(K): K \text{ компактно}, K \subseteq E\right\} =0$ . Утверждение 6: множество $E$ не принадлежит $\mathscr {L}^{k}$ . Это вариант классического построения, данного Витали в 1905 году.

Задача 4.5.2

Не существует инвариантной относительно сдвигов меры $\mu$ , определённой для всех подмножеств $\mathbb {R}^{k}$ , такой что $\mu ((\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}])=\prod_{i=1}^{k}(b_{i}-a_{i})$ для всех ограниченных $k$ -мерных промежутков rsc-типа $(\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}]$ .

?

Задача 4.5.3

Вот альтернативное, но весьма похожее построение множества, не принадлежащего $\mathscr {L}$ . Мы будем рассматривать $(0,1]$ в качестве нашего пространства. Пусть $\dot{+}$ обозначает сложение по модулю 1: для $x, y \in (0,1]$ ,

x \mathbin {\dot{+}} y= \begin{cases} x+y, & \text{если } x+y \leqslant 1, \\ x+y-1, & \text{если } x+y>1. \end{cases}

Для каждого $A \subseteq (0,1]$ и $x \in (0,1]$ мы будем [только для этого упражнения] записывать $A \oplus x$ как сдвиг по модулю 1: $A \oplus x=\left\{ a \mathbin {\dot{+}} x: a \in A\right\}$ . Наконец, [только для этого упражнения] мы будем обозначать через $\mathbb {Q}$ рациональные числа из $(0,1]$ .

?

(a)

Для $x, y \in (0,1]$ запишем $x \sim y$ тогда и только тогда, когда существует $r \in \mathbb {Q}$ такое, что $x \mathbin {\dot{+}} r=y$ . Тогда $\sim$ является отношением эквивалентности.

(b)

Пусть $F$ обозначает множество, образованное выбором ровно одного элемента из каждого класса эквивалентности [используйте (AC)]. Покажите, что $(F \oplus r_{1}) \cap (F \oplus r_{2})$ пусто, если $r_{1}$ и $r_{2}$ — различные элементы $\mathbb {Q}$ .

(c)

$(0,1]=\bigcup_{r \in \mathbb {Q}}(F \oplus r)$ , где объединение непересекающееся.

(d)

$F \notin \mathscr {L}$ и $0<\lambda^{*}(F) \leqslant 1$ .

(e)

Если существует инвариантная относительно сдвигов мера $\mu$ , определённая на $\sigma$ -поле на $(0,1]$ , которое содержит $F$ и замкнуто относительно сдвигов, то $\mu ((0,1])$ равно либо $0$ , либо $+\infty$ .

(f)

Покажите, что не может существовать инвариантной относительно сдвигов меры, определённой на всех подмножествах $(0,1]$ , совпадающей с $\bar{\lambda }$ на лебеговых множествах $(0,1]$ .

Примечание.

?

Рассуждайте от противного для (d): если $F \in \mathscr {L}$ , то

1=\bar{\lambda }((0,1])=\sum _{r \in \mathbb {Q}} \bar{\lambda }(F \oplus r)=\sum _{r \in \mathbb {Q}} \bar{\lambda }(F).

Если $\bar{\lambda }(F)=0$ , получаем $1=0$ . Если $\bar{\lambda }(F)>0$ , то получаем $1=+\infty$ . Заключите, что $\bar{\lambda }(F)$ не может существовать, а это означает, что $F \notin \mathscr {L}$ . Для оставшейся части, поскольку $F \subseteq (0,1]$ , очевидно $\lambda^{*}(F) \leqslant 1$ . Чтобы показать, что $\lambda^{*}(F)>0$ , запишем

1=\lambda ^{*}((0,1])=\lambda ^{*}\left(\bigcup _{r \in \mathbb {Q}}(F \oplus r)\right) \leqslant \sum _{r \in \mathbb {Q}} \lambda ^{*}(F \oplus r)=\sum _{r \in \mathbb {Q}} \lambda ^{*}(F).

Задача 4.5.4

(a)(b)

Докажите следующие утверждения.

?

(a)

Существует последовательность $\left\{ E_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ непересекающихся множеств [не обязательно из $\mathscr {L}$ ] такая, что $\lambda^{*}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty } E_{n}\right)<\sum_{n=1}^{\infty } \lambda^{*}(E_{n})$ .

(b)

Существует невозрастающая последовательность $\left\{ E_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ множеств [не обязательно из $\mathscr {L}$ ] с $\lambda^{*}(E_{n})<+\infty$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ такая, что $\lambda^{*}\left(\bigcap_{n=1}^{\infty } E_{n}\right)<\lim_{n} \lambda^{*}(E_{n})$ .

Примечание.

?

Для (a): сначала покажите, что $\lambda^{*}$ инвариантна относительно сдвигов. Пусть $\left\{ r_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает рациональные числа в $(0,1]$ , и пусть $E_{n}=F \oplus r_{n}$ , где $F$ — множество из упражнения 4.5.3 [множество, образованное выбором ровно одного элемента из каждого класса эквивалентности $\sim$ на $(0,1]$ , где $x \sim y$ тогда и только тогда, когда $x \mathbin {\dot{+}} r=y$ для некоторого рационального $r$ ], а $\oplus$ обозначает сдвиг по модулю 1.

Задача 4.5.5

Пусть $A \in \mathscr {L}^{k}$ таково, что $\bar{\lambda }_{k}(A)>0$ . Существуют $\boldsymbol {x}, \boldsymbol {y} \in A$ такие, что $\boldsymbol {x}-\boldsymbol {y} \in \mathbb {Q}^{k}$ .

?

Задача 4.5.6

(a)(b)

Пусть $T: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ таково, что $T \boldsymbol {x}=x_{1}$ для всех $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{2}$ . То есть $T$ проецирует точки [перпендикулярно] на ось $x_{1}$ .

?

(a)

Такое отображение линейно и вырождено.

(b)

Существует $A \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ такое, что (i) $TA$ , рассматриваемое как подмножество $\mathbb {R}$ , не принадлежит $\mathscr {B}$ , в то время как (ii) $TA$ , рассматриваемое как подмножество $\mathbb {R}^{2}$ , принадлежит $\mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ .

Примечание.

?

Рассмотрите множество $E \times \left\{ 0\right\}$ , где $E$ — одномерная форма множества, построенного в данном разделе.

Задача 4.5.7

Для любого линейного отображения $T$ [вырожденного или невырожденного], определённого на $\mathbb {R}^{k}$ , $A \in \mathscr {L}^{k}$ вынуждает $TA \in \mathscr {L}^{k}$ .

?

Примечание.

?

Результат установлен для невырожденных $T$ (утверждение 11(ii) раздела 4.4: если $T$ — невырожденное преобразование, то для каждого $A \in \mathscr {L}^{k}$ имеем $TA \in \mathscr {L}^{k}$ и $\bar{\lambda }_{k}(TA)=\left|\operatorname {det}\left(T\right)\right| \bar{\lambda }_{k}(A)$ ). Для вырожденного $T$ заметим, что $TA \subseteq T\mathbb {R}^{k}$ , что является гиперплоскостью, следовательно борелевским множеством с $\lambda_{k}$ -мерой, равной нулю.

Существование неизмеримых по Лебегу множеств