Теорема о невозможности

Не может существовать мера $\mu : 2^{\mathbb {R}^{k}} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такая, что (i) $0 < \mu \left(\mathbb {R}^{k}\right) \leqslant +\infty$, (ii) $\mu$ приписывает конечное неотрицательное число каждому ограниченному подмножеству $\mathbb {R}^{k}$, и (iii) $\mu \left(\left\{ \boldsymbol {x}\right\} \right) = 0$ для каждого $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$. Это $k$-мерная версия теоремы о невозможности.

Теорема о невозможности: не может существовать мера $\mu : 2^{\mathbb {R}} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ с $\mu (\mathbb {R}) > 0$, которая одновременно (a) приписывает конечную меру ограниченным множествам, и (b) приписывает нулевую меру каждому одноточечному множеству. В частности, мера Лебега не может быть непротиворечиво определена для каждого подмножества $\mathbb {R}$.