Экскурс: «крайне неизмеримые множества»

$\Delta_{F, \mathcal{B}^{k}}^{*}\left(\left\{ \boldsymbol {x}\right\} \right) = 0$ для всех $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$ тогда и только тогда, когда $F \in \mathfrak {S}_{k}$ непрерывна.

Обозначения и структура (раздел 4.9): пусть $\mathcal{A}_{k}$ обозначает полукольцо, состоящее из $\varnothing$ и ограниченных $k$-мерных промежутков rsc-типа $(\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}]$, и пусть $F \in \mathfrak {S}_{k}$. Тогда $\Delta_{F}: \mathcal{A}_{k} \rightarrow \mathbb {R}$ является мерой. Пусть $\Delta_{F}^{*}: 2^{\mathbb {R}^{k}} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначает внешнюю меру, индуцированную $\Delta_{F}$. Тогда сужение $\Delta_{F, \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)}^{*}$ меры $\Delta_{F}^{*}$ на $\mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)$ является мерой, и сужение $\Delta_{F, \mathcal{B}^{k}}^{*}$ меры $\Delta_{F}^{*}$ на $\mathscr {B}^{k}$ также является мерой.

Построение множества $B$: пусть $\left\{ F_{\eta }: \eta \prec \omega \right\}$ обозначает вполне упорядоченное множество из $\mathfrak {c}$ несчётных замкнутых подмножеств $\mathbb {R}^{k}$, где $\omega$ обозначает наименьшее несчётное порядковое число (данное вполне упорядоченное множество существует в силу (AC) вместе с тем фактом, что семейство несчётных замкнутых подмножеств $\mathbb {R}^{k}$ имеет мощность $\mathfrak {c}$). По трансфинитной индукции, для каждого $\eta \prec \omega$ выберем различные точки $\boldsymbol {x}_{\eta }, \boldsymbol {y}_{\eta } \in F_{\eta } - A_{\eta }$, где $A_{\eta } = \left\{ \boldsymbol {x}_{\gamma }: \gamma \prec \eta \right\} \cup \left\{ \boldsymbol {y}_{\gamma }: \gamma \prec \eta \right\}$ (это всегда возможно, поскольку $\operatorname {card}\left(A_{\eta }\right) < \mathfrak {c} = \operatorname {card}\left(F_{\eta }\right)$). Пусть $B = \left\{ \boldsymbol {x}_{\eta }: \eta \prec \omega \right\}$.

Утверждение 1: для любого $A \in \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)$ (с $F \in \mathfrak {S}_{k}$), $\Delta_{F, \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)}^{*}(A) = \sup \left\{ \Delta_{F, \mathcal{B}^{k}}^{*}(K): K \subseteq A, K \text{ компактно}\right\}$.

Утверждение 2: семейство открытых подмножеств $\mathbb {R}^{k}$ имеет мощность $\mathfrak {c}$.

Утверждение 3: семейство несчётных замкнутых подмножеств $\mathbb {R}^{k}$ имеет мощность $\mathfrak {c}$.

Утверждение 4: для любого $\eta \prec \omega$, $B \cap F_{\eta } \neq \varnothing$ и $B^{c} \cap F_{\eta } \neq \varnothing$.

Утверждение 5: если $F \in \mathfrak {S}_{k}$ непрерывна, то $\Delta_{F, \mathcal{B}^{k}}^{*}\left(\left\{ \boldsymbol {x}\right\} \right) = 0$ для каждого $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$.

Пусть $F \in \mathfrak {S}$ непрерывна. Для каждого $\varepsilon >0$ существует нигде не плотное совершенное множество $A \subseteq [0,1]$ такое, что $A \in \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)$ и $\Delta_{F, \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)}^{*}(A) > \Delta_{F, \mathcal{B}}^{*}([0,1]) - \varepsilon$. В случае меры Лебега это означает [примерно], что существует подмножество $[0,1]$ с мерой Лебега [«длиной»], произвольно близкой к 1, но при этом это множество не содержит открытого подынтервала $[0,1]$.

Пусть $F \in \mathfrak {S}$ непрерывна. Существует множество $B \subseteq [0,1]$ с (i) $B \in \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)$, (ii) $B$ является счётным объединением нигде не плотных множеств, и (iii) $\Delta_{F, \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)}^{*}(B) = \Delta_{F, \mathcal{B}}^{*}([0,1])$.

Пусть $F \in \mathfrak {S}$ непрерывна. Существует множество $C \subseteq [0,1]$ такое, что (i) $C$ является счётным пересечением открытых подмножеств $[0,1]$, (ii) $C$ не является счётным объединением нигде не плотных множеств, и (iii) $\Delta_{F, \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)}^{*}$-мера $C$ равна 0.

Континуум-гипотеза (CH) и аксиома выбора (AC) влекут, что существует множество $S \subseteq \mathbb {R}$ с $\operatorname {card}(S) = \mathfrak {c}$, $S \in \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)$ и $\Delta_{F, \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)}^{*}(S) = 0$ для каждой непрерывной $F \in \mathfrak {S}$. Следуйте данному плану.