Мера Лебега: существование и единственность

Пусть $x \in \mathbb {R}$ и $k \geqslant 2$. Тогда $\lambda (\left\{ x\right\} )=\lambda_{k}\left(\left\{ x\right\} \times \mathbb {R}^{k-1}\right)=0$. Далее, для любого $j \in \left\{ 1, \ldots , k-1\right\}$ и $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{j}$ имеем $\lambda_{k}\left(\left\{ \boldsymbol {x}\right\} \times \mathbb {R}^{k-j}\right)=0$.

Перенумеруем рациональные числа в $(0,1]$ как $\left\{ q_{1}, q_{2}, \ldots \right\}$. Для произвольно малого $\varepsilon >0$ удалим интервал $A_{n}=\left(q_{n}-\varepsilon / 2^{n+1}, q_{n}+\varepsilon / 2^{n+1}\right) \cap (0,1]$. Пусть $A=\bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n}$. Тогда $\bar{\lambda }(A) \leqslant \varepsilon$, несмотря на то, что $A$ является открытым плотным подмножеством $(0,1]$. Также имеем $\bar{\lambda }((0,1] \backslash A) \geqslant 1-\varepsilon$, хотя $(0,1] \backslash A$ является нигде не плотным подмножеством $(0,1]$.

Не может существовать замкнутое подмножество $(0,1]$ с пустой внутренностью, но имеющее $\bar{\lambda }$-меру, равную единице.

$\lambda_{k}$ неатомична: любое $A \in \mathscr {B}^{k}$ с $\lambda_{k}(A)>0$ имеет собственное подмножество $B \in \mathscr {B}^{k}$ с $0<\lambda_{k}(B)<\lambda_{k}(A)$. Это вынуждает $\bar{\lambda }_{k}$ также быть неатомичной.

Пусть $k \geqslant 2$. Существует несчётное множество $U \in \mathscr {B}^{k}$ с $\lambda_{k}(U)=0$.

$\left|\mathscr {L}^{k}\right|=2^{\mathrm{c}}$ и $\left|\mathscr {B}^{k}\right|=\mathrm{c}$ для каждого $k \in \mathbb {N}$.

Предположим, что $\mathscr {L}=2^{\mathbb {R}}$; в частности, каждое из $2^{\mathrm{c}}$ подмножеств $\left[0,1\right]$ является лебеговым множеством. Пусть $B=\left\{ \bar{\lambda }(A): A \subseteq [0,1], \bar{\lambda }(A) \notin A\right\}$. Рассмотрение множества $B$ (которое принадлежит $\mathscr {L}$ по предположению) приводит к противоречию.

Пусть $k \geqslant 2$. Каждая прямая принадлежит $\mathscr {B}^{k}$, имеет $\lambda_{k}$-меру, равную нулю, и, следовательно, имеет $\bar{\lambda }_{k}$-меру.

Пусть $\mathscr {B}_{(0,1]}=\sigma (\left\{ (a, b]:(a, b] \subseteq (0,1]\right\} )$.