Банк задач по математике

Задача 4.3.1

Пусть $\mu : \mathscr {B}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ — мера, приписывающая конечную меру ограниченным $\mathscr {B}^{k}$ -множествам. Далее, предположим, что $\mu$ инвариантна относительно сдвигов: $\mu (B \oplus \boldsymbol {x})=\mu (B)$ для всех $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$ . Тогда существует $c>0$ такое, что $\mu (B)=c \lambda_{k}(B)$ для всех $B \in \mathscr {B}^{k}$ .

?

Задача 4.3.2

Пусть $A \in \mathscr {L}$ таково, что $\bar{\lambda }(A)>0$ , и пусть $c \in [0,1)$ . Существует открытый интервал $U$ такой, что $\bar{\lambda }(A \cap U) \geqslant c \lambda (U) .^{1}$

?

Задача 4.3.3

Пусть $A \in \mathscr {L}$ содержит открытый интервал. Тогда существует $a>0$ такое, что $(-a, a)$ содержится в $D(A)=\left\{ x-y: x, y \in A\right\}$ .

?

Задача 4.3.4

Пусть $A \in \mathscr {L}$ таково, что $\bar{\lambda }(A)>0$ . Тогда существует $a>0$ такое, что $(-a, a)$ содержится в $D(A)=\left\{ x-y: x, y \in A\right\}$ .

?

Задача 4.3.5

Пусть $A$ — плотное подмножество $\mathbb {R}$ . Тогда $c A=\left\{ c a: a \in A\right\}$ плотно для любого $c \neq 0$ .

?

Задача 4.3.6

(a)(b)(c)

Пусть $\xi$ — иррациональное число.

?

(a)

Пусть $A=\left\{ n+m \xi : n, m \in \mathbb {Z}\right\}$ . Тогда $A$ является плотным подмножеством $\mathbb {R}$ .

(b)

Пусть $B=\left\{ n+m \xi : n, m \in \mathbb {Z}, n$ чётно $\right\}$ . Тогда $B$ является sense-подмножеством $\mathbb {R}$ .

(c)

Пусть $C=\left\{ n+m \xi : n, m \in \mathbb {Z}, n$ нечётно $\right\}$ . Тогда $C$ является sense-подмножеством $\mathbb {R}$ .

Задача 4.3.7

Для $x, y \in \mathbb {R}$ запишем $x \sim y$ тогда и только тогда, когда $x-y \in A=\left\{ n+m \xi : n, m \in \mathbb {Z}\right\}$ , где $\xi$ — фиксированное иррациональное число, как в предыдущем упражнении. Тогда $\sim$ является отношением эквивалентности, и, следовательно, $\mathbb {R}$ может быть разбито на непересекающиеся классы эквивалентности.

?

Задача 4.3.8

Теперь мы применим (AC), чтобы образовать множество $E_{0}$ , состоящее ровно из одного элемента каждого класса эквивалентности из предыдущего упражнения. Теперь покажем, что $E_{0} \notin \mathscr {L}$ .

?

(a)

Существуют борелевские подмножества $E_{0}$ .

(b)

Пусть $F \subseteq E_{0}$ — борелевское множество. Тогда $D(F)$ не может содержать никаких ненулевых элементов $A$ , где $A$ — множество из упражнения 4.3.6.

(c)

По (b), не может существовать открытый интервал, содержащий начало координат, который содержится в $D(F)$ , следовательно $\lambda (F)=0$ .

(d)

Из (c) имеем $\lambda_{*}\left(E_{0}\right)=0$ .

(e)

Если $a_{1}$ и $a_{2}$ — различные элементы $A=\left\{ n+m \xi : m, n \in \mathbb {Z}\right\}$ , то $E_{0} \oplus a_{1}$ и $E_{0} \oplus a_{2}$ не пересекаются.

(f)

$\mathbb {R}=\bigcup \left\{ E_{0} \oplus a: a \in A\right\}$ , причём счётное объединение непересекающееся.

(g)

Если $E_{0} \in \mathscr {L}$ , то $\bar{\lambda }\left(E_{0} \oplus a\right)=0$ для каждого $a \in A$ , следовательно $\bar{\lambda }(\mathbb {R})=0$ . Следовательно, поскольку предположение $E_{0} \in \mathscr {L}$ приводит к абсурду, должно быть так, что $E_{0} \notin \mathscr {L}$ , и, следовательно, существует подмножество $\mathbb {R}$ , не являющееся лебеговым множеством.

Задача 4.3.9

В сочетании с предыдущими упражнениями, невозможно, чтобы мера Лебега была определена для каждого подмножества $\mathbb {R}$ . То есть продолжение-мера $\mu$ функции $\Delta_{F}$ [где $F \in \mathfrak {S}$ — тождественная функция] с полукольца $\mathcal{A}$ , состоящего из $\varnothing$ и ограниченных промежутков rsc-типа $(a, b]$ , на $2^{\mathbb {R}}$ не существует.

?

Примечание.

?

Рассуждайте от противного для быстрого ответа: если бы такое продолжение-мера $\mu$ на $2^{\mathbb {R}}$ существовало, то предыдущая работа вынудила бы $\mu (\mathbb {R})=0$ , что противоречит нашим ожиданиям относительно длины.

Задача 4.3.10

Пусть $B \in \mathscr {L}$ таково, что $\bar{\lambda }(B)>0$ . Мы покажем, что существует $E_{1} \subseteq B$ с $E_{1} \notin \mathscr {L}$ , следуя приведённому ниже плану. Множество $A$ , встречающееся ниже, — это множество $A$ из упражнения 4.3.7, состоящее из чисел $n+m \xi$ , где $n, m \in \mathbb {Z}$ и $\xi$ — фиксированное иррациональное число.

?

(a)

$\lambda_{*}$ монотонна и инвариантна относительно сдвигов.

(b)

$B=\bigcup \left\{ (E_{0} \oplus a) \cap B: a \in A\right\}$ , причём объединение непересекающееся.

(c)

Существует $a^{*} \in A$ такое, что $\lambda^{*}\left((E_{0} \oplus a^{*}) \cap B\right)>0$ .

(d)

Пусть $E_{1}=(E_{0} \oplus a^{*}) \cap B$ . Тогда $E_{1} \subseteq B$ и $E_{1} \notin \mathscr {L}$ .

(e)

Мы можем на самом деле обобщить дальше и утверждать, что любое подмножество $B \subseteq \mathbb {R}$ с $\lambda^{*}(B)>0$ [не обязательно $B \in \mathscr {L}$ ] содержит подмножество, не принадлежащее $\mathscr {L}$ .

Примечание.

?

По (b), имеем $0<\bar{\lambda }(B)=\lambda^{*}(B) \leqslant \sum \left\{ \lambda^{*}((E_{0} \oplus a) \cap B): a \in A\right\}$ ; и по (a) и пункту (d) упражнения 4.3.8, $\lambda_{*}(E_{1})=\lambda_{*}((E_{0} \oplus a^{*}) \cap B) \leqslant \lambda_{*}(E_{0} \oplus a^{*})=\lambda_{*}(E_{0})=0$ , в то время как $\lambda^{*}(E_{1})>0$ ; примените соответствующую часть теоремы аппроксимации.

Задача 4.3.11

Пусть $A \in \mathscr {L}$ , пусть $B$ — плотное подмножество $\mathbb {R}$ , и предположим, что $\bar{\lambda }(A \triangle (A \oplus x))=0$ для каждого $x \in B$ . Тогда либо $\bar{\lambda }(A)=0$ , либо $\bar{\lambda }(A^{c})=0$ . Это упражнение не зависит от предыдущих упражнений.

?

Инвариантность меры Лебега относительно сдвигов