Банк задач по математике

Задача 4.6.1

Если $x \in [0,1]$ имеет конечное троичное разложение, заканчивающееся двумя или более единицами, то $x \notin C$ .

?

Примечание.

?

Множество диадических рациональных чисел $(0,1)$ есть $D=\left\{ d \in (0,1): d=m / 2^{n}, n \in \mathbb {N}, m=1, \cdots , 2^{n}-1\right\}$ , записанных в несократимом виде. Множество Кантора строится поэтапно: на этапе $1$ удаляем открытую среднюю треть $J_{1/2}=(1/3,2/3)$ из $[0,1]$ , оставляя два замкнутых интервала $[0,1/3]$ и $[2/3,1]$ . На этапе $n$ остаётся $2^{n-1}$ непересекающихся замкнутых интервалов, каждый длины $(1/3)^{n-1}$ ; из каждого удаляем открытую среднюю треть, обозначая эти $2^{n-1}$ удалённых открытых интервалов через $J_{1/2^{n}}, J_{3/2^{n}}, \ldots , J_{(2^{n}-1)/2^{n}}$ , оставляя $2^{n}$ непересекающихся замкнутых интервалов, каждый с мерой Лебега $(1/3)^{n}$ . Выполняя это для каждого $n \in \mathbb {N}$ , удаляем интервалы $\left\{ J_{d}: d \in D\right\}$ из $[0,1]$ ; множество Кантора есть $C=[0,1]-\bigcup_{d \in D} J_{d}$ . Утверждение 1(b): $x \in C$ тогда и только тогда, когда $x$ имеет единственное троичное разложение [конечное или бесконечное], состоящее исключительно из $0$ и $2$ .

Задача 4.6.2

(a)(b)

Пусть $x \in C$ .

?

(a)

$x$ имеет ровно два различных троичных разложения тогда и только тогда, когда существует $d \in D$ такое, что $x$ является концом удалённого интервала $J_{d}$ .

(b)

Для каждого $d \in D$ либо $J_{d}=(0.1,0.2)$ [по основанию 3], либо для некоторого $n \in \mathbb {N}$ интервал $J_{d}$ имеет вид $(0.a_{1} \cdots a_{n} 1, 0.a_{1} \cdots a_{n} 2)$ , где $a_{1}, \cdots , a_{n} \in \left\{ 0,2\right\}$ .

Задача 4.6.3

$1 / 4 \in C$ , хотя $1 / 4$ не является концом никакого удалённого интервала $J_{d}$ . Также $0,1 \in C$ .

?

Задача 4.6.4

(a)(b)

Существует определённая симметрия относительно $C$ .

?

(a)

$C$ симметрично относительно $\frac{1}{2}$ : $x \in C$ тогда и только тогда, когда $1-x \in C$ .

(b)

Пусть $d \in D$ , и запишем $J_{d}=(\alpha , \beta )$ . Тогда $1-d \in D$ и $J_{1-d}=(1-\beta , 1-\alpha )$ .

Задача 4.6.5

$\left\{ x-y: x, y \in C\right\} =[-1,1]$ и $\left\{ x+y: x, y \in C\right\} =[0,2]$ , так что

\lambda (\left\{ x-y: x, y \in C\right\} )=\lambda (\left\{ x+y: x, y \in C\right\} )=2.

То есть, хотя $\lambda (C)=0$ , как $C \oplus C$ , так и $C \ominus C$ имеют положительную меру Лебега.

?

Задача 4.6.6

$C$ совершенно: каждая $x \in C$ является пределом последовательности различных точек $C$ .

?

Задача 4.6.7

Пусть $I_{C}$ — индикаторная функция $C$ : $I_{C}(x)$ равна $1$ или $0$ , если $x \in C$ или $x \notin C$ соответственно. Тогда $I_{C}$ непрерывна на $[0,1]-C$ , а $I_{C}$ разрывна в каждой точке $x \in C$ .

?

Задача 4.6.8

(a)(b)(c)

Данная задача повторяет некоторые основные факты анализа, которые будут использованы в следующей части данного раздела.

?

(a)

Каждое семейство непересекающихся непустых открытых интервалов является amc.

(b)

Пусть $f:(a, b) \rightarrow \mathbb {R}$ монотонна. Тогда множество точек разрыва $f$ является amc, и единственными разрывами являются разрывы первого рода (скачки).

(c)

Если $f:[a, b] \rightarrow [c, d]$ монотонна и сюръективна, то $f$ непрерывна.

Примечание.

?

Для (a): каждый такой интервал содержит отдельное рациональное число, а рациональных чисел лишь счётное множество. Для (b): вспомните, что $f$ имеет разрыв первого рода в точке $x$ тогда и только тогда, когда существуют оба предела $f(x-)$ и $f(x+)$ , причём хотя бы один из $f(x-)$ или $f(x+)$ отличается от $f(x)$ . Для (c): используйте (b).

Задача 4.6.9

На самом деле имеем $\left\{ x \in [0,1]: F'(x) \text{ существует и равна нулю}\right\} \in \mathscr {B}$ .

?

Примечание.

?

Покажите, что данное множество на самом деле равно борелевскому множеству $\bigcup_{d \in D} J_{d}$ . Сингулярная функция Лебега $F: [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ определяется записью $F(x)=\sup \left\{ f(y): y \in C, y \leqslant x\right\}$ для каждого $x \in [0,1]$ , где $f: C \rightarrow \mathbb {R}$ определяется следующим образом: если $x=0.a_{1} a_{2} \cdots$ — единственное троичное разложение $x \in C$ , состоящее исключительно из $0$ и $2$ , то $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty } \frac{a_{n}/2}{2^{n}}=0.\frac{a_{1}}{2} \frac{a_{2}}{2} \cdots$ [по основанию 2]. Утверждение 3: $F=f$ на $C$ , причём $F(0)=0$ и $F(1)=1$ ; $F$ сюръективна на $[0,1]$ , неубывающая и непрерывная [фактически равномерно непрерывная]; и для каждого $d \in D$ , $F(x)=d$ для каждого $x \in J_{d}$ [так что $F'(x)$ существует и равна $0$ на каждом $J_{d}$ ].

Задача 4.6.10

(a)(b)

Пусть $n \in \mathbb {N}$ .

?

(a)

Если $x, y \in C$ и $\left|x-y\right|<3^{-n}$ , то $\left|f(x)-f(y)\right| \leqslant 2^{-n}$ .

(b)

Если $x, y \in [0,1]$ и $\left|x-y\right|<3^{-n}$ , то $\left|F(x)-F(y)\right| \leqslant 2^{-n}$ . Это составляет ещё одно доказательство того, что $F$ равномерно непрерывна.

Задача 4.6.11

Существует альтернативный способ построения функции Лебега. Определим $g: \bigcup_{d \in D} J_{d} \rightarrow [0,1]$ , записав $g(x)=d$ для всех $x \in J_{d}$ , $d \in D$ .

?

(a)

$g$ неубывающая.

(b)

$g$ равномерно непрерывна.

(c)

Пока что $g$ определена только на $\bigcup_{d \in D} J_{d}$ . Определим новую функцию $G$ с областью определения $[0,1]$ , записав $G(x)=\lim_{n} g(x_{n})$ , где $\left\{ x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность точек в $\bigcup_{d \in D} J_{d}$ такая, что $x_{n} \rightarrow x$ . Для каждого $x \in [0,1]$ значение $G(x)$ не зависит от последовательности $\left\{ x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ точек в $\bigcup_{d \in D} J_{d}$ , сходящейся к $x$ , так что $G$ корректно определена.

(d)

$G=g$ на $\bigcup_{d \in D} J_{d}$ , и пункт (b) вынуждает $G$ быть непрерывной на $[0,1]$ .

(e)

$G=F$ , где $F$ — сингулярная функция Лебега в том виде, в каком мы её построили.

Задача 4.6.12

Пусть $D_{\alpha }$ обозначает подмножество $[0,1]$ , построенное тем же способом, что и множество Кантора $C$ , за исключением того, что [для каждого $n \in \mathbb {N}$ ] на $n$ -м шаге вместо удаления средней трети из $2^{n-1}$ оставшихся замкнутых интервалов мы удаляем среднюю часть длины $\alpha 3^{-n}$ , где $\alpha \in [0,1]$ . [Множество $C$ соответствует $D_{1}$ , а $[0,1]$ соответствует $D_{0}$ .] Тогда $D_{\alpha }$ замкнуто, следовательно принадлежит $\mathscr {B}$ . Также $D_{\alpha }^{c}$ является плотным подмножеством $[0,1]$ , и $\lambda (D_{\alpha })=1-\alpha$ .

?

Примечание.

?

Такие множества $D_{\alpha }$ при $0<\alpha <1$ называются толстыми множествами Кантора, поскольку они строятся способом, аналогичным тому, каким было построено $C$ , но, в отличие от $C$ , они имеют положительную меру Лебега.

Множество Кантора и функция Лебега