Непрерывные линейные операторы между банаховыми пространствами

Покажите, что непустое подмножество $S$ линейного пространства $X$ является подпространством тогда и только тогда, когда $S+S = S$ и $\lambda \cdot S = S$ для каждого $\lambda \in \mathbb {R}, \lambda \neq 0$.

Если $Y$ и $Z$ — подпространства линейного пространства $X$, покажите, что $Y+Z$ также является подпространством и $Y+Z = \operatorname {span}[Y \cup Z]$.

Пусть $S$ — подмножество нормированного линейного пространства $X$.

Для нормированного линейного пространства $X$ покажите, что функция $\left\| \cdot \right\| : X \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна.

Для двух нормированных линейных пространств ($X,\left\| \cdot \right\|_{1}$) и ($Y,\left\| \cdot \right\|_{2}$) определим линейную структуру на декартовом произведении $X \times Y$ формулами $\lambda \cdot (x, y) = (\lambda x, \lambda y)$ и $\left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right) = \left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right)$. Определим норму произведения $\left\| \cdot \right\|$ формулой $\left\| (x, y)\right\| = \left\| x\right\|_{1}+\left\| y\right\|_{2}$ для $x \in X$ и $y \in Y$. Покажите, что это норма, относительно которой последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится каждая из двух покомпонентных последовательностей. Далее покажите, что если $X$ и $Y$ — банаховы пространства, то и $X \times Y$ — банахово пространство.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство.

Покажите, что множество $\mathcal{P}$ всех многочленов на $[a, b]$ является линейным пространством. Рассматривая $\mathcal{P}$ как подмножество нормированного линейного пространства $C[a, b]$, покажите, что $\mathcal{P}$ не является замкнутым. Рассматривая $\mathcal{P}$ как подмножество нормированного линейного пространства $L^{1}[a, b]$, покажите, что $\mathcal{P}$ не является замкнутым.

Неотрицательная вещественнозначная функция $\left\| \cdot \right\|$, определённая на векторном пространстве $X$, называется псевдонормой, если $\left\| x+y\right\| \leq \left\| x\right\| +\left\| y\right\|$ и $\left\| \alpha x\right\| = \left|\alpha \right|\left\| x\right\|$. Определим $x \cong y$ при условии, что $\left\| x-y\right\| = 0$. Покажите, что это отношение эквивалентности. Пусть $X / \cong$ — множество классов эквивалентности $X$ по отношению $\cong$, и для $x \in X$ пусть $[x]$ — класс эквивалентности $x$. Покажите, что $X / \cong$ является нормированным векторным пространством, если определить $\alpha [x]+\beta [y]$ как класс эквивалентности $\alpha x+\beta y$ и определить $\left\| [x]\right\| = \left\| x\right\|$. Проиллюстрируйте эту процедуру на примере $X = L^{p}[a, b], 1 \leq p < \infty$.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные линейные пространства и $T: X \rightarrow Y$ — линейный оператор.

Для нормированных линейных пространств $X$ и $Y$ и $T \in \mathcal{L}(X, Y)$ покажите, что $\left\| T\right\|$ является наименьшей константой Липшица для отображения $T$, то есть наименьшим числом $c \geq 0$, для которого

Для нормированных линейных пространств $X$ и $Y$ и $T \in \mathcal{L}(X, Y)$ покажите, что

Для нормированных линейных пространств $X$ и $Y$ пусть $\left\{ T_{n}\right\} \rightarrow T$ в $\mathcal{L}(X, Y)$ и $\left\{ u_{n}\right\} \rightarrow u$ в $X$. Покажите, что $\left\{ T_{n}\left(u_{n}\right)\right\} \rightarrow T(u)$ в $Y$.

Пусть $X$ — банахово пространство и $T \in \mathcal{L}(X, X)$ с $\left\| T\right\| < 1$.

Пусть $X$ — банахово пространство и $T \in \mathcal{L}(X, X)$ с $\left\| T\right\| < 1$. Определим $T^{0} = \mathrm{Id}$.

Для нормированных линейных пространств $X$ и $Y$ и $T \in \mathcal{L}(X, Y)$ покажите, что $T$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует оператор $S \in \mathcal{L}(Y, X)$ такой, что для каждого $u \in X$ и $v \in Y$,

Для нормированных линейных пространств $X$ и $Y$ и $T \in \mathcal{L}(X, Y)$ покажите, что $\operatorname {ker} T$ является замкнутым подпространством $X$ и что $T$ взаимно однозначен тогда и только тогда, когда $\operatorname {ker} T = \left\{ 0\right\}$.

Пусть ($X, \rho$) — метрическое пространство, содержащее точку $x_{0}$. Пусть $\operatorname {Lip}_{0}(X)$ — множество вещественнозначных липшицевых функций $f$ на $X$, обращающихся в нуль в $x_{0}$. Покажите, что $\operatorname {Lip}_{0}(X)$ является линейным пространством, нормированным следующим образом: для $f \in \operatorname {Lip}_{0}(X)$,

Покажите, что $\operatorname {Lip}_{0}(X)$ является банаховым пространством. Для каждого $x \in X$ определим линейный функционал $F_{x}$ на $\operatorname {Lip}_{0}(X)$, полагая $F_{x}(f) = f(x)$. Покажите, что $F_{x}$ принадлежит $\mathcal{L}\left(\operatorname {Lip}_{0}(X), \mathbb {R}\right)$ и что для $x, y \in X,\left\| F_{x}-F_{y}\right\| = \rho (x, y)$. Таким образом, $X$ изометрично подмножеству банахова пространства $\mathcal{L}\left(\operatorname {Lip}_{0}(X), \mathbb {R}\right)$. Поскольку всякое замкнутое подмножество полного метрического пространства полно, это даёт ещё одно доказательство существования пополнения для любого метрического пространства $X$. Это также показывает, что всякое метрическое пространство изометрично подмножеству нормированного линейного пространства.

Используя предыдущую задачу, покажите, что всякое нормированное линейное пространство является плотным подпространством банахова пространства.

Для нормированного линейного пространства $X$ и $T, S \in \mathcal{L}(X, X)$ покажите, что композиция $S \circ T$ также принадлежит $\mathcal{L}(X, X)$ и $\left\| S \circ T\right\| \leq \left\| S\right\| \cdot \left\| T\right\|$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $Y$ — замкнутое линейное подпространство $X$. Покажите, что $\left\| x\right\|_{1} = \inf_{y \in Y}\left\| x-y\right\|$ задаёт псевдонорму на $X$. Нормированное линейное пространство, порождённое псевдонормой $\left\| \cdot \right\|_{1}$ (см. задачу 8), обозначается $X / Y$ и называется факторпространством $X$ по $Y$. Покажите, что естественное отображение $\varphi$ пространства $X$ на $X / Y$ переводит открытые множества в открытые.

Покажите, что если $X$ — банахово пространство, а $Y$ — замкнутое собственное линейное подпространство $X$, то фактор $X / Y$ также является банаховым пространством, а естественное отображение $\varphi : X \rightarrow X / Y$ имеет норму 1.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные линейные пространства, $T \in \mathcal{L}(X, Y)$ и ker $T = Z$. Покажите, что существует единственный ограниченный линейный оператор $S$ из $X / Z$ в $Y$ такой, что $T = S \circ \varphi$, где $\varphi : X \rightarrow X / Z$ — естественное отображение. Более того, покажите, что $\left\| T\right\| = \left\| S\right\|$.

Покажите, что подмножество конечномерного нормированного линейного пространства $X$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Завершите доказательство леммы Рисса для $\epsilon \neq 1 / 2$.

Приведите открытое покрытие замкнутого единичного шара $X = \ell^{2}$, не имеющее конечного подпокрытия. Затем сделайте то же самое для $X = C[0,1]$ и $X = L^{2}[0,1]$.

Для нормированных линейных пространств $X$ и $Y$ пусть $T: X \rightarrow Y$ — линейное отображение. Если $X$ конечномерно, покажите, что $T$ непрерывен. Если $Y$ конечномерно, покажите, что $T$ непрерывен тогда и только тогда, когда $\operatorname {ker} T$ замкнуто.

Пусть $X$ — бесконечномерное нормированное линейное пространство, $B$ — замкнутый единичный шар в $X$, а $B_{0}$ — открытый единичный шар в $X$. Предположим, что $B$ компактен. Тогда открытое покрытие $\left\{ x+(1 / 3) B_{0}\right\}_{x \in B}$ множества $B$ имеет конечное подпокрытие $\left\{ x_{i}+(1 / 3) B_{0}\right\}_{1 \leq i \leq n}$. Используя лемму Рисса с $Y = \operatorname {span}\left[\left\{ x_{1}, \ldots , x_{n}\right\} \right]$, получите противоречие.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Покажите, что $X$ сепарабельно тогда и только тогда, когда существует компактное подмножество $K$ пространства $X$, для которого $\overline{\operatorname {span}}[K] = X$.

Пусть $X$ — конечномерное нормированное линейное пространство, а $Y$ — нормированное линейное пространство. Покажите, что всякий линейный оператор $T: X \rightarrow Y$ непрерывен и открыт.

Пусть $X$ — банахово пространство, а $P \in \mathcal{L}(X, X)$ — проекция. Покажите, что $P$ открыт.

Пусть $T: X \rightarrow Y$ — непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами $X$ и $Y$. Покажите, что $T$ открыт, если образ открытого единичного шара из $X$ при отображении $T$ плотен в некоторой окрестности начала координат в $Y$.

Пусть $\left\{ u_{n}\right\}$ — последовательность в банаховом пространстве $X$. Предположим, что $\sum_{k = 1}^{\infty }\left\| u_{k}\right\| < \infty$. Покажите, что существует $x \in X$, для которого

Пусть $T$ — линейный оператор из нормированного линейного пространства $X$ в конечномерное нормированное линейное пространство $Y$. Покажите, что $T$ непрерывен тогда и только тогда, когда $\operatorname {ker} T$ является замкнутым подпространством $X$.

Пусть $X$ — банахово пространство, оператор $T \in \mathcal{L}(X, X)$ открыт, а $X_{0}$ — замкнутое подпространство $X$. Сужение $T_{0}$ отображения $T$ на $X_{0}$ непрерывно. Обязательно ли $T_{0}$ открыто?

Пусть $V$ — линейное подпространство линейного пространства $X$. Рассуждая следующим образом, покажите, что $V$ имеет линейное дополнение в $X$.

Проверьте (15) и (16).

Пусть $Y$ — нормированное линейное пространство. Покажите, что $Y$ является банаховым пространством тогда и только тогда, когда существует банахово пространство $X$ и непрерывное линейное открытое отображение $X$ на $Y$.

Как следствие теоремы Бэра о категориях было доказано, что вещественнозначное отображение, являющееся поточечным пределом последовательности непрерывных отображений на полном метрическом пространстве, обязано быть непрерывным во всех точках некоторого плотного подмножества своей области определения. Адаптируйте это доказательство так, чтобы оно применялось к отображениям в произвольное метрическое пространство. Используя это, докажите, что поточечный предел последовательности непрерывных линейных операторов на банаховом пространстве имеет предел, непрерывный в некоторой точке, а значит, в силу линейности, непрерывный.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $L^{\infty }[a, b]$. Предположим, что для каждого $g \in L^{1}[a, b], \lim_{n \rightarrow \infty } \int_{a}^{b} g \cdot f_{n} \mathrm{dm}$ существует. Покажите, что существует функция $f \in L^{\infty }[a, b]$ такая, что $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{a}^{b} g \cdot f_{n} \mathrm{dm} = \int_{a}^{b} g \cdot f \mathrm{dm}$ для всех $g \in L^{1}[a, b]$.

Пусть $X$ — линейное пространство всех многочленов, определённых на $\mathbb {R}$. Для $p \in X$ определим $\left\| p\right\|$ как сумму абсолютных величин коэффициентов $p$. Покажите, что это норма на $X$. Для каждого $n$ определим $\psi_{n}: X \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $\psi_{n}(p) = p^{(n)}(0)$. Используя свойства последовательности $\left\{ \psi_{n}\right\}$ в $\mathcal{L}(X, \mathbb {R})$, покажите, что $X$ не является банаховым пространством.