Линейные операторы

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные линейные пространства и $T: X \rightarrow Y$ — линейный оператор.

Для нормированных линейных пространств $X$ и $Y$ и $T \in \mathcal{L}(X, Y)$ покажите, что $\left\| T\right\|$ является наименьшей константой Липшица для отображения $T$, то есть наименьшим числом $c \geq 0$, для которого

Для нормированных линейных пространств $X$ и $Y$ и $T \in \mathcal{L}(X, Y)$ покажите, что

Для нормированных линейных пространств $X$ и $Y$ пусть $\left\{ T_{n}\right\} \rightarrow T$ в $\mathcal{L}(X, Y)$ и $\left\{ u_{n}\right\} \rightarrow u$ в $X$. Покажите, что $\left\{ T_{n}\left(u_{n}\right)\right\} \rightarrow T(u)$ в $Y$.

Пусть $X$ — банахово пространство и $T \in \mathcal{L}(X, X)$ с $\left\| T\right\| < 1$.

Пусть $X$ — банахово пространство и $T \in \mathcal{L}(X, X)$ с $\left\| T\right\| < 1$. Определим $T^{0} = \mathrm{Id}$.

Для нормированных линейных пространств $X$ и $Y$ и $T \in \mathcal{L}(X, Y)$ покажите, что $T$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует оператор $S \in \mathcal{L}(Y, X)$ такой, что для каждого $u \in X$ и $v \in Y$,

Для нормированных линейных пространств $X$ и $Y$ и $T \in \mathcal{L}(X, Y)$ покажите, что $\operatorname {ker} T$ является замкнутым подпространством $X$ и что $T$ взаимно однозначен тогда и только тогда, когда $\operatorname {ker} T = \left\{ 0\right\}$.

Пусть ($X, \rho$) — метрическое пространство, содержащее точку $x_{0}$. Пусть $\operatorname {Lip}_{0}(X)$ — множество вещественнозначных липшицевых функций $f$ на $X$, обращающихся в нуль в $x_{0}$. Покажите, что $\operatorname {Lip}_{0}(X)$ является линейным пространством, нормированным следующим образом: для $f \in \operatorname {Lip}_{0}(X)$,

Покажите, что $\operatorname {Lip}_{0}(X)$ является банаховым пространством. Для каждого $x \in X$ определим линейный функционал $F_{x}$ на $\operatorname {Lip}_{0}(X)$, полагая $F_{x}(f) = f(x)$. Покажите, что $F_{x}$ принадлежит $\mathcal{L}\left(\operatorname {Lip}_{0}(X), \mathbb {R}\right)$ и что для $x, y \in X,\left\| F_{x}-F_{y}\right\| = \rho (x, y)$. Таким образом, $X$ изометрично подмножеству банахова пространства $\mathcal{L}\left(\operatorname {Lip}_{0}(X), \mathbb {R}\right)$. Поскольку всякое замкнутое подмножество полного метрического пространства полно, это даёт ещё одно доказательство существования пополнения для любого метрического пространства $X$. Это также показывает, что всякое метрическое пространство изометрично подмножеству нормированного линейного пространства.

Используя предыдущую задачу, покажите, что всякое нормированное линейное пространство является плотным подпространством банахова пространства.

Для нормированного линейного пространства $X$ и $T, S \in \mathcal{L}(X, X)$ покажите, что композиция $S \circ T$ также принадлежит $\mathcal{L}(X, X)$ и $\left\| S \circ T\right\| \leq \left\| S\right\| \cdot \left\| T\right\|$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $Y$ — замкнутое линейное подпространство $X$. Покажите, что $\left\| x\right\|_{1} = \inf_{y \in Y}\left\| x-y\right\|$ задаёт псевдонорму на $X$. Нормированное линейное пространство, порождённое псевдонормой $\left\| \cdot \right\|_{1}$ (см. задачу 8), обозначается $X / Y$ и называется факторпространством $X$ по $Y$. Покажите, что естественное отображение $\varphi$ пространства $X$ на $X / Y$ переводит открытые множества в открытые.

Покажите, что если $X$ — банахово пространство, а $Y$ — замкнутое собственное линейное подпространство $X$, то фактор $X / Y$ также является банаховым пространством, а естественное отображение $\varphi : X \rightarrow X / Y$ имеет норму 1.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные линейные пространства, $T \in \mathcal{L}(X, Y)$ и ker $T = Z$. Покажите, что существует единственный ограниченный линейный оператор $S$ из $X / Z$ в $Y$ такой, что $T = S \circ \varphi$, где $\varphi : X \rightarrow X / Z$ — естественное отображение. Более того, покажите, что $\left\| T\right\| = \left\| S\right\|$.