Принцип равномерной ограниченности

Как следствие теоремы Бэра о категориях было доказано, что вещественнозначное отображение, являющееся поточечным пределом последовательности непрерывных отображений на полном метрическом пространстве, обязано быть непрерывным во всех точках некоторого плотного подмножества своей области определения. Адаптируйте это доказательство так, чтобы оно применялось к отображениям в произвольное метрическое пространство. Используя это, докажите, что поточечный предел последовательности непрерывных линейных операторов на банаховом пространстве имеет предел, непрерывный в некоторой точке, а значит, в силу линейности, непрерывный.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $L^{\infty }[a, b]$. Предположим, что для каждого $g \in L^{1}[a, b], \lim_{n \rightarrow \infty } \int_{a}^{b} g \cdot f_{n} \mathrm{dm}$ существует. Покажите, что существует функция $f \in L^{\infty }[a, b]$ такая, что $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{a}^{b} g \cdot f_{n} \mathrm{dm} = \int_{a}^{b} g \cdot f \mathrm{dm}$ для всех $g \in L^{1}[a, b]$.

Пусть $X$ — линейное пространство всех многочленов, определённых на $\mathbb {R}$. Для $p \in X$ определим $\left\| p\right\|$ как сумму абсолютных величин коэффициентов $p$. Покажите, что это норма на $X$. Для каждого $n$ определим $\psi_{n}: X \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $\psi_{n}(p) = p^{(n)}(0)$. Используя свойства последовательности $\left\{ \psi_{n}\right\}$ в $\mathcal{L}(X, \mathbb {R})$, покажите, что $X$ не является банаховым пространством.