Нормированные линейные пространства

Покажите, что непустое подмножество $S$ линейного пространства $X$ является подпространством тогда и только тогда, когда $S+S = S$ и $\lambda \cdot S = S$ для каждого $\lambda \in \mathbb {R}, \lambda \neq 0$.

Если $Y$ и $Z$ — подпространства линейного пространства $X$, покажите, что $Y+Z$ также является подпространством и $Y+Z = \operatorname {span}[Y \cup Z]$.

Пусть $S$ — подмножество нормированного линейного пространства $X$.

Для нормированного линейного пространства $X$ покажите, что функция $\left\| \cdot \right\| : X \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна.

Для двух нормированных линейных пространств ($X,\left\| \cdot \right\|_{1}$) и ($Y,\left\| \cdot \right\|_{2}$) определим линейную структуру на декартовом произведении $X \times Y$ формулами $\lambda \cdot (x, y) = (\lambda x, \lambda y)$ и $\left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right) = \left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right)$. Определим норму произведения $\left\| \cdot \right\|$ формулой $\left\| (x, y)\right\| = \left\| x\right\|_{1}+\left\| y\right\|_{2}$ для $x \in X$ и $y \in Y$. Покажите, что это норма, относительно которой последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится каждая из двух покомпонентных последовательностей. Далее покажите, что если $X$ и $Y$ — банаховы пространства, то и $X \times Y$ — банахово пространство.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство.

Покажите, что множество $\mathcal{P}$ всех многочленов на $[a, b]$ является линейным пространством. Рассматривая $\mathcal{P}$ как подмножество нормированного линейного пространства $C[a, b]$, покажите, что $\mathcal{P}$ не является замкнутым. Рассматривая $\mathcal{P}$ как подмножество нормированного линейного пространства $L^{1}[a, b]$, покажите, что $\mathcal{P}$ не является замкнутым.

Неотрицательная вещественнозначная функция $\left\| \cdot \right\|$, определённая на векторном пространстве $X$, называется псевдонормой, если $\left\| x+y\right\| \leq \left\| x\right\| +\left\| y\right\|$ и $\left\| \alpha x\right\| = \left|\alpha \right|\left\| x\right\|$. Определим $x \cong y$ при условии, что $\left\| x-y\right\| = 0$. Покажите, что это отношение эквивалентности. Пусть $X / \cong$ — множество классов эквивалентности $X$ по отношению $\cong$, и для $x \in X$ пусть $[x]$ — класс эквивалентности $x$. Покажите, что $X / \cong$ является нормированным векторным пространством, если определить $\alpha [x]+\beta [y]$ как класс эквивалентности $\alpha x+\beta y$ и определить $\left\| [x]\right\| = \left\| x\right\|$. Проиллюстрируйте эту процедуру на примере $X = L^{p}[a, b], 1 \leq p < \infty$.