Теорема об открытом отображении и теорема о замкнутом графике

Пусть $X$ — конечномерное нормированное линейное пространство, а $Y$ — нормированное линейное пространство. Покажите, что всякий линейный оператор $T: X \rightarrow Y$ непрерывен и открыт.

Пусть $X$ — банахово пространство, а $P \in \mathcal{L}(X, X)$ — проекция. Покажите, что $P$ открыт.

Пусть $T: X \rightarrow Y$ — непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами $X$ и $Y$. Покажите, что $T$ открыт, если образ открытого единичного шара из $X$ при отображении $T$ плотен в некоторой окрестности начала координат в $Y$.

Пусть $\left\{ u_{n}\right\}$ — последовательность в банаховом пространстве $X$. Предположим, что $\sum_{k = 1}^{\infty }\left\| u_{k}\right\| < \infty$. Покажите, что существует $x \in X$, для которого

Пусть $T$ — линейный оператор из нормированного линейного пространства $X$ в конечномерное нормированное линейное пространство $Y$. Покажите, что $T$ непрерывен тогда и только тогда, когда $\operatorname {ker} T$ является замкнутым подпространством $X$.

Пусть $X$ — банахово пространство, оператор $T \in \mathcal{L}(X, X)$ открыт, а $X_{0}$ — замкнутое подпространство $X$. Сужение $T_{0}$ отображения $T$ на $X_{0}$ непрерывно. Обязательно ли $T_{0}$ открыто?

Пусть $V$ — линейное подпространство линейного пространства $X$. Рассуждая следующим образом, покажите, что $V$ имеет линейное дополнение в $X$.

Проверьте (15) и (16).

Пусть $Y$ — нормированное линейное пространство. Покажите, что $Y$ является банаховым пространством тогда и только тогда, когда существует банахово пространство $X$ и непрерывное линейное открытое отображение $X$ на $Y$.