Утрата компактности: бесконечномерные нормированные линейные пространства

Покажите, что подмножество конечномерного нормированного линейного пространства $X$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Завершите доказательство леммы Рисса для $\epsilon \neq 1 / 2$.

Приведите открытое покрытие замкнутого единичного шара $X = \ell^{2}$, не имеющее конечного подпокрытия. Затем сделайте то же самое для $X = C[0,1]$ и $X = L^{2}[0,1]$.

Для нормированных линейных пространств $X$ и $Y$ пусть $T: X \rightarrow Y$ — линейное отображение. Если $X$ конечномерно, покажите, что $T$ непрерывен. Если $Y$ конечномерно, покажите, что $T$ непрерывен тогда и только тогда, когда $\operatorname {ker} T$ замкнуто.

Пусть $X$ — бесконечномерное нормированное линейное пространство, $B$ — замкнутый единичный шар в $X$, а $B_{0}$ — открытый единичный шар в $X$. Предположим, что $B$ компактен. Тогда открытое покрытие $\left\{ x+(1 / 3) B_{0}\right\}_{x \in B}$ множества $B$ имеет конечное подпокрытие $\left\{ x_{i}+(1 / 3) B_{0}\right\}_{1 \leq i \leq n}$. Используя лемму Рисса с $Y = \operatorname {span}\left[\left\{ x_{1}, \ldots , x_{n}\right\} \right]$, получите противоречие.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Покажите, что $X$ сепарабельно тогда и только тогда, когда существует компактное подмножество $K$ пространства $X$, для которого $\overline{\operatorname {span}}[K] = X$.