Общие пространства $L^{p}$: полнота, свёртка и двойственность

Рассмотрим измеримое пространство $\left\{ X, \emptyset \right\}$ с $\mu (X) = \infty$. Для $1 \leq p \leq \infty$ охарактеризуйте пространство $L^{p}(X, \mu )$.

Для $1 \leq p < \infty$ и индекса $n$ определим $f_{n}(x) = n^{1 / p}$, если $0 \leq x \leq 1 / n$, и $f_{n}(x) = 0$, если $1 / n < x \leq 1$. Пусть $f$ тождественно равна нулю на $[0,1]$. Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится поточечно к $f$, но не сходится в $L^{p}([0,1], m)$. Почему критерий сходимости Витали в $L^{p}$ здесь не применим?

Для $1 \leq p < \infty$ и индекса $n$ пусть $f_{n}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — характеристическая функция отрезка $[n, n+1]$. Пусть $f$ тождественно равна нулю на $\mathbb {R}$. Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится поточечно к $f$, но не сходится в $L^{p}(\mathbb {R}, m)$. Почему критерий сходимости Витали в $L^{p}$ здесь не применим?

Докажите критерий сходимости Витали в $L^{p}$.

Для измеримого пространства $(X, \mathcal{M}, \mu )$ и $0 < p < 1$ определим $L^{p}(X, \mu )$ как совокупность измеримых функций на $X$, для которых $\left|f\right|^{p}$ интегрируема. Покажите, что $L^{p}(X, \mu )$ — линейное пространство. Для $f \in L^{p}(X, \mu )$ определим $\left\| f\right\|_{p}^{p} = \int_{X}\left|f\right|^{p} d \mu$. (В общем случае $\left\| \cdot \right\|_{p}$ не является нормой, поскольку неравенство Минковского может не выполняться.)

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — фундаментальная последовательность в $L^{\infty }(X, \mu )$. Покажите, что существует измеримое подмножество $X_{0}$ множества $X$, для которого $\mu \left(X \sim X_{0}\right) = 0$ и для каждого $\epsilon > 0$ существует индекс $N$, для которого

Используя это, покажите, что $L^{\infty }(X, \mu )$ полно.

Пусть $c$ — считающая мера на $\mathbb {N}$. Для $1 \leq p \leq \infty$ покажите, что $L^{p}(\mathbb {N}, c) = \ell^{p}$. Затем покажите, что $\ell^{p}$ полно.

Определим $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ равенствами $f(0) = 0$ и $f(x) = \exp \left(-1 / x^{2}\right)$ в остальных случаях. Используя разложение Тейлора для $\exp (x)$ в точке $x = 0$, покажите, что для каждого многочлена $p(x)$

Используя это, покажите, что $f \in C^{\infty }(\mathbb {R})$ и $f^{(k)}(0) = 0$ для всех $k$. Для каких $x \in \mathbb {R}^{n}$ разложение Тейлора функции $f$ в точке $x = 0$ совпадает с $f(x)$?

Используя предыдущую задачу, проверьте, что функция $w$ принадлежит $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R})$.

Для $1 \leq p < \infty$ пусть $f \in L^{p}\left(\mathbb {R}^{n}\right)$. Покажите, что если $\int_{\mathbb {R}^{n}} f(x) g(x) d x = 0$ для всех $g \in C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R}^{n}\right)$, то $f = 0$.

Для функции $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, определённой равенством $f(x) = x^{-1 / 2} \cdot \chi_{(0,1)}(x)$, покажите, что $(f * f)(x)$ определена при всех $x$ и конечна при $x \neq 0$.

Покажите, что если $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ ограничена и непрерывна, то при $\epsilon \rightarrow 0$ $\left\{ f * w_{\epsilon }\right\} \rightarrow f$ поточечно, равномерно на компактных множествах.

Пусть $k \in L^{2}\left(\mathbb {R}^{n} \times \mathbb {R}^{n}\right)$, и определим интегральный оператор $T: L^{2}\left(\mathbb {R}^{n}\right) \rightarrow L^{2}\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ равенством

Покажите, что линейный оператор $T$ корректно определён, и найдите такое $c \geq 0$, для которого

Докажите теорему Рисса о представлении для случая $p = 1$, адаптировав доказательство для случая $p > 1$.

Для $1 \leq p \leq \infty$ и $q$, сопряжённого к $p$, пусть $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ в $L^{q}(X, \mu )$ и $\left\{ g_{n}\right\} \rightarrow g$ в $L^{p}(X, \mu )$. Покажите, что

Найдите измеримое пространство ($X, \mathcal{M}, \mu$), для которого теорема Рисса о представлении всё же распространяется на случай $p = \infty$.

Для $1 \leq p < \infty$ найдите представление для ограниченных линейных функционалов на $\ell^{p}$.

Найдите представление для ограниченных линейных функционалов на пространстве с мерой Дирака.

Найдите представление для ограниченных линейных функционалов на $\mathbb {R}^{n}$.

Распространите теорему Банаха–Сакса на $L^{2}\left(\mathbb {R}^{n}, \mu_{n}\right)$ и, используя это, докажите, что замкнутое ограниченное выпуклое подмножество $L^{2}\left(\mathbb {R}^{n}, \mu_{n}\right)$ слабо секвенциально компактно.

Докажите, что выпуклая непрерывная вещественнозначная функция на замкнутом ограниченном выпуклом подмножестве $L^{2}\left(\mathbb {R}^{n}, \mu_{n}\right)$ принимает минимальное значение.

Покажите, что $L^{\infty }\left(\mathbb {R}^{n}, \mu_{n}\right)$ не сепарабельно.

Для $1 < p < \infty$ покажите, что слабо сходящаяся последовательность в $L^{p}(X, \mu )$ ограничена.

Пусть $c$ — считающая мера на множестве натуральных чисел $\mathbb {N}$. Для $1 \leq p < \infty$ докажите, что ограниченная последовательность в $L^{p}(\mathbb {N}, c)$ сходится слабо тогда и только тогда, когда она сходится поточечно.

Линейный функционал $\Psi : L^{p}(X, \mu ) \rightarrow \mathbb {R}$ называется положительным, если $\Psi (g) \geq 0$ для каждой неотрицательной функции $g$ из $L^{p}(X, \mu )$. Для $1 \leq p < \infty$ и $\sigma$-конечной $\mu$ покажите, что каждый ограниченный линейный функционал на $L^{p}(X, \mu )$ является разностью ограниченных положительных линейных функционалов.

Проверьте (26) и (27).

Покажите, что $\mathcal{B} \mathcal{F} \mathcal{A}(X, \mathcal{M}, \mu )$ — линейное пространство, на котором $\left\| \cdot \right\|_{\text{var }}$ является нормой. Затем покажите, что это нормированное линейное пространство полно.

Для $\Phi \in \left[L^{\infty }(X, \mu )\right]^{*}$ пусть $\mathcal{R}(\Phi ) \in \mathcal{B} \mathcal{F} \mathcal{A}(X, \mathcal{M}, \mu )$ — представитель $\Phi$. Докажите, что $\mathcal{R}:\left[L^{\infty }(X, \mu )\right]^{*} \rightarrow \mathcal{B F} \mathcal{A}(X, \mathcal{M}, \mu )$ — изометрия.