Свёртка, гладкая аппроксимация и гладкая лемма Урысона

Определим $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ равенствами $f(0) = 0$ и $f(x) = \exp \left(-1 / x^{2}\right)$ в остальных случаях. Используя разложение Тейлора для $\exp (x)$ в точке $x = 0$, покажите, что для каждого многочлена $p(x)$

Используя это, покажите, что $f \in C^{\infty }(\mathbb {R})$ и $f^{(k)}(0) = 0$ для всех $k$. Для каких $x \in \mathbb {R}^{n}$ разложение Тейлора функции $f$ в точке $x = 0$ совпадает с $f(x)$?

Используя предыдущую задачу, проверьте, что функция $w$ принадлежит $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R})$.

Для $1 \leq p < \infty$ пусть $f \in L^{p}\left(\mathbb {R}^{n}\right)$. Покажите, что если $\int_{\mathbb {R}^{n}} f(x) g(x) d x = 0$ для всех $g \in C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R}^{n}\right)$, то $f = 0$.

Для функции $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, определённой равенством $f(x) = x^{-1 / 2} \cdot \chi_{(0,1)}(x)$, покажите, что $(f * f)(x)$ определена при всех $x$ и конечна при $x \neq 0$.

Покажите, что если $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ ограничена и непрерывна, то при $\epsilon \rightarrow 0$ $\left\{ f * w_{\epsilon }\right\} \rightarrow f$ поточечно, равномерно на компактных множествах.

Пусть $k \in L^{2}\left(\mathbb {R}^{n} \times \mathbb {R}^{n}\right)$, и определим интегральный оператор $T: L^{2}\left(\mathbb {R}^{n}\right) \rightarrow L^{2}\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ равенством

Покажите, что линейный оператор $T$ корректно определён, и найдите такое $c \geq 0$, для которого