Теорема Канторовича о представлении для сопряжённого к $L^{\infty}(X, \mu)$

Проверьте (26) и (27).

Покажите, что $\mathcal{B} \mathcal{F} \mathcal{A}(X, \mathcal{M}, \mu )$ — линейное пространство, на котором $\left\| \cdot \right\|_{\text{var }}$ является нормой. Затем покажите, что это нормированное линейное пространство полно.

Для $\Phi \in \left[L^{\infty }(X, \mu )\right]^{*}$ пусть $\mathcal{R}(\Phi ) \in \mathcal{B} \mathcal{F} \mathcal{A}(X, \mathcal{M}, \mu )$ — представитель $\Phi$. Докажите, что $\mathcal{R}:\left[L^{\infty }(X, \mu )\right]^{*} \rightarrow \mathcal{B F} \mathcal{A}(X, \mathcal{M}, \mu )$ — изометрия.