Пространства $L^{p}(X, \mu)$, $1 \leq p \leq \infty$

Рассмотрим измеримое пространство $\left\{ X, \emptyset \right\}$ с $\mu (X) = \infty$. Для $1 \leq p \leq \infty$ охарактеризуйте пространство $L^{p}(X, \mu )$.

Для $1 \leq p < \infty$ и индекса $n$ определим $f_{n}(x) = n^{1 / p}$, если $0 \leq x \leq 1 / n$, и $f_{n}(x) = 0$, если $1 / n < x \leq 1$. Пусть $f$ тождественно равна нулю на $[0,1]$. Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится поточечно к $f$, но не сходится в $L^{p}([0,1], m)$. Почему критерий сходимости Витали в $L^{p}$ здесь не применим?

Для $1 \leq p < \infty$ и индекса $n$ пусть $f_{n}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — характеристическая функция отрезка $[n, n+1]$. Пусть $f$ тождественно равна нулю на $\mathbb {R}$. Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится поточечно к $f$, но не сходится в $L^{p}(\mathbb {R}, m)$. Почему критерий сходимости Витали в $L^{p}$ здесь не применим?

Докажите критерий сходимости Витали в $L^{p}$.

Для измеримого пространства $(X, \mathcal{M}, \mu )$ и $0 < p < 1$ определим $L^{p}(X, \mu )$ как совокупность измеримых функций на $X$, для которых $\left|f\right|^{p}$ интегрируема. Покажите, что $L^{p}(X, \mu )$ — линейное пространство. Для $f \in L^{p}(X, \mu )$ определим $\left\| f\right\|_{p}^{p} = \int_{X}\left|f\right|^{p} d \mu$. (В общем случае $\left\| \cdot \right\|_{p}$ не является нормой, поскольку неравенство Минковского может не выполняться.)

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — фундаментальная последовательность в $L^{\infty }(X, \mu )$. Покажите, что существует измеримое подмножество $X_{0}$ множества $X$, для которого $\mu \left(X \sim X_{0}\right) = 0$ и для каждого $\epsilon > 0$ существует индекс $N$, для которого

Используя это, покажите, что $L^{\infty }(X, \mu )$ полно.

Пусть $c$ — считающая мера на $\mathbb {N}$. Для $1 \leq p \leq \infty$ покажите, что $L^{p}(\mathbb {N}, c) = \ell^{p}$. Затем покажите, что $\ell^{p}$ полно.