Теорема Рисса о представлении для сопряжённого к $L^{p}(X, \mu)$, $1 \leq p < \infty$

Докажите теорему Рисса о представлении для случая $p = 1$, адаптировав доказательство для случая $p > 1$.

Для $1 \leq p \leq \infty$ и $q$, сопряжённого к $p$, пусть $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ в $L^{q}(X, \mu )$ и $\left\{ g_{n}\right\} \rightarrow g$ в $L^{p}(X, \mu )$. Покажите, что

Найдите измеримое пространство ($X, \mathcal{M}, \mu$), для которого теорема Рисса о представлении всё же распространяется на случай $p = \infty$.

Для $1 \leq p < \infty$ найдите представление для ограниченных линейных функционалов на $\ell^{p}$.

Найдите представление для ограниченных линейных функционалов на пространстве с мерой Дирака.

Найдите представление для ограниченных линейных функционалов на $\mathbb {R}^{n}$.