Слабая последовательная компактность в $L^{p}(X, \mu)$, $1 < p < \infty$

Распространите теорему Банаха–Сакса на $L^{2}\left(\mathbb {R}^{n}, \mu_{n}\right)$ и, используя это, докажите, что замкнутое ограниченное выпуклое подмножество $L^{2}\left(\mathbb {R}^{n}, \mu_{n}\right)$ слабо секвенциально компактно.

Докажите, что выпуклая непрерывная вещественнозначная функция на замкнутом ограниченном выпуклом подмножестве $L^{2}\left(\mathbb {R}^{n}, \mu_{n}\right)$ принимает минимальное значение.

Покажите, что $L^{\infty }\left(\mathbb {R}^{n}, \mu_{n}\right)$ не сепарабельно.

Для $1 < p < \infty$ покажите, что слабо сходящаяся последовательность в $L^{p}(X, \mu )$ ограничена.

Пусть $c$ — считающая мера на множестве натуральных чисел $\mathbb {N}$. Для $1 \leq p < \infty$ докажите, что ограниченная последовательность в $L^{p}(\mathbb {N}, c)$ сходится слабо тогда и только тогда, когда она сходится поточечно.

Линейный функционал $\Psi : L^{p}(X, \mu ) \rightarrow \mathbb {R}$ называется положительным, если $\Psi (g) \geq 0$ для каждой неотрицательной функции $g$ из $L^{p}(X, \mu )$. Для $1 \leq p < \infty$ и $\sigma$-конечной $\mu$ покажите, что каждый ограниченный линейный функционал на $L^{p}(X, \mu )$ является разностью ограниченных положительных линейных функционалов.