Отдельные меры

Покажите, что неравенство Коши-Шварца является равенством тогда и только тогда, когда точки линейно зависимы.

Проверьте следующее обобщение теоремы Пифагора, называемое законом параллелограмма:

Для $1 \leq p \leq \infty$ определим норму $\left\| \cdot \right\|_{p}$ на $\mathbb {R}^{n}$ и докажите неравенства Гёльдера и Минковского. Покажите, что для всех $1 \leq \alpha , \beta \leq \infty$ существует константа $c = c(\alpha , \beta )$, для которой

Покажите, что в лемме Урысона, если $A$ не компактно, может не существовать компактно поддерживаемой разделяющей функции $f$.

Покажите, что внешняя мера Лебега на $\mathbb {R}$ изменится, если, следуя Жордану, ограничить счётные покрытия конечными.

Для куба $Q \subseteq \mathbb {R}^{3}$ с каждой стороной $[0,1]$ пусть $Q$ является дизъюнктным объединением $k$ интервалов. Докажите аддитивность объёма для этого разбиения, не используя лемму 1.

Пусть $A$ и $B$ — подмножества $\mathbb {R}^{n}$, для которых существует $c > 0$, такое что $\left\| u-v\right\| \geq c$ для всех $u \in A, v \in B$. Покажите, что

Докажите, что $\mathcal{L}^{n}$ является наименьшей $\sigma$-алгеброй, содержащей все борелевские множества и все множества лебеговой меры нуль.

Если $E \in \mathcal{L}^{n}$ и $\epsilon > 0$, существует ли компактное множество $F$, такое что $F \subseteq E$ и $\mu_{n}(E \sim F) < \epsilon$?

Пусть $E$ — произвольное множество действительных чисел. Покажите, что $E \times \mathbb {Q}$ является лебегово измеримым подмножеством $\mathbb {R}^{2}$ независимо от лебеговой измеримости $E \subseteq \mathbb {R}$.

Покажите, что если отображение $\mathcal{N}: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ непрерывно и отображает множества лебеговой меры нуль во множества лебеговой меры нуль, то оно отображает лебегово измеримые множества в лебегово измеримые множества.

Рассмотрим треугольник $\Delta = \left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2} \mid 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq [b / a] x\right\}$. Покрывая $\Delta$ конечными семействами прямоугольников и используя непрерывность меры, определите лебегову меру $\Delta$.

Пусть $[a, b]$ — замкнутый ограниченный интервал. Предположим, что $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ ограничена и лебегово измерима. Покажите, что график $f$ имеет меру нуль относительно лебеговой меры на плоскости. Обобщите это на ограниченные действительнозначные измеримые функции нескольких действительных переменных.

Покажите, что непрерывно дифференцируемое отображение $\mathcal{N}: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ может не быть липшицевым, но его сужение на каждое замкнутое ограниченное множество липшицево.

Для линейного оператора сравните оценку (6) с фактической мерой.

Пусть $R \subseteq \mathbb {R}^{n}$ — ограниченный прямоугольник, и $\epsilon > 0$. Покажите, что существует конечное покрытие $R$ кубами, сумма объёмов которых меньше $\operatorname {vol}(R)+\epsilon$. Выведите отсюда, что внешняя мера Лебега на $\mathbb {R}^{n}$ не изменяется, если покрытия интервалами заменить покрытиями кубами.

Покажите, что каждое открытое подмножество $\mathbb {R}^{n}$ является множеством типа $F_{\sigma }$.

Покажите, что открытое ограниченное подмножество плоскости $(0,1) \times (0,1)$ не является объединением счётного дизъюнктного семейства открытых шаров в $\mathbb {R}^{2}$. Противоречит ли это теореме Витали о разбиении?

Покажите, что при $n = 1$ константу $C$ в (6) нельзя улучшить.

Покажите, что неравенство Коши-Шварца является равенством тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ линейно зависимы. Используйте это, чтобы показать, что $\left\| L\right\|$ является наименьшей липшицевой константой для линейного оператора $L: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$.

Пара точек в $\mathbb {R}^{n}$ называется ортогональной, если их скалярное произведение равно нулю. Множество $\left\{ v_{1}, \ldots v_{n}\right\} \subseteq \mathbb {R}^{n}$ называется ортонормированным базисом $\mathbb {R}^{n}$, если каждая пара точек множества ортогональна, и каждая точка имеет норму 1. Для линейного оператора $L: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ докажите равносильность следующих утверждений:

Покажите, что в $\mathbb {R}^{3}$ следствие 22 сводится к формуле смешанного произведения для объёма.

Для $\left\{ z_{1}, \ldots , z_{n}\right\} \subseteq \mathbb {R}^{n}$ пусть $P(z_{1}, \ldots , z_{n})$ обозначает параллелепипед, состоящий из точек $\sum_{i=1}^{n} x_{i} \cdot z_{i}$ с коэффициентами $0 \leq x_{i} \leq 1$, и пусть $\det (z_{1}, \ldots , z_{n})$ — определитель матрицы $n \times n$, $i$-й столбец которой есть $z_{i}$. Следствие 22: Для $\left\{ z_{1}, \ldots , z_{n}\right\} \subseteq \mathbb {R}^{n}$, $\mu_{n}(P(z_{1}, \ldots , z_{n})) = \left|\det (z_{1}, \ldots , z_{n})\right|$.

Докажите, что для любого открытого покрытия замкнутого ограниченного подмножества $\mathbb {R}^{n}$ существует $\alpha > 0$ (называемое числом Лебега покрытия), такое что каждый шар с центром в $K$ и радиусом $\alpha$ содержится в одном из покрывающих множеств.

Совокупность обратимых линейных операторов на $\mathbb {R}^{n}$ называется полной линейной группой и обозначается $G L(n)$; совокупность ортогональных операторов обозначается $\mathcal{O}(n)$ и называется ортогональной группой. Покажите, что относительно операции композиции $G L(n)$ является группой, имеющей $\mathcal{O}(n)$ в качестве подгруппы.

Докажите неравенство (18).

Для конечной меры $\mu$ на $\mathcal{B}(\mathbb {R})$ определим $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, полагая $g(x) = \mu (-\infty , x]$. Покажите, что каждая ограниченная возрастающая функция $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, непрерывная справа и такая, что $\lim_{x \rightarrow -\infty } g(x) = 0$, является функцией распределения единственной конечной борелевской меры на $\mathcal{B}(\mathbb {R})$.

Покажите, что каждое замкнутое подмножество $\mathbb {R}^{n}$ является множеством типа $G_{\delta }$, а каждое открытое подмножество $\mathbb {R}^{n}$ является множеством типа $F_{\sigma }$.

Покажите, что теорема 24 может не выполняться, если $\mu \left(\mathbb {R}^{n}\right) = \infty$.

Теорема 24: Каждая конечная борелевская мера $\mu : \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right) \rightarrow [0, \infty )$ регулярна, то есть для каждого $\epsilon > 0$ и каждого множества $E \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ существуют компактное множество $K$ и открытое множество $O$, для которых $K \subseteq E \subseteq O$, $\mu (E \sim K) < \epsilon$ и $\mu (O \sim E) < \epsilon$.

Покажите, что регулярность меры Лебега на $\mathbb {R}^{n}$ является следствием теоремы 24.

Теорема 24: Каждая конечная борелевская мера $\mu : \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right) \rightarrow [0, \infty )$ регулярна, то есть для каждого $\epsilon > 0$ и каждого множества $E \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ существуют компактное множество $K$ и открытое множество $O$, для которых $K \subseteq E \subseteq O$, $\mu (E \sim K) < \epsilon$ и $\mu (O \sim E) < \epsilon$.

Непосредственно из определения внешней меры Лебега покажите, что если $A$ и $B$ — подмножества $\mathbb {R}^{n}$, и существует $\delta > 0$, для которого $\left\| u-v\right\| \geq \delta$ для всех $u \in A$ и $v \in B$, то

Покажите, что в определении меры Хаусдорфа можно брать покрытия открытыми множествами или замкнутыми множествами.

Покажите, что функция множества — внешняя мера Хаусдорфа $H_{\alpha }^{*}$ — счётно монотонна.

На плоскости $\mathbb {R}^{2}$ покажите, что ограниченное множество можно заключить в шар того же диаметра. Используйте это, чтобы показать, что для ограниченного подмножества $A$ плоскости $\mathbb {R}^{2}$, $H_{2}(A) \geq 4 / \pi \cdot \mu_{2}(A)$, где $\mu_{2}$ — мера Лебега на $\mathbb {R}^{2}$.

Пусть ($X, \rho$) — метрическое пространство, и $\alpha > 0$. Для $E \subseteq X$ определим

где $\left\{ A_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — счётное семейство подмножеств $X$, покрывающих $E$: никаких ограничений на диаметры множеств покрытия не накладывается. Сравните функции множества $H_{\alpha }^{\prime }$ и $H_{\alpha }$.

Покажите, что каждая мера Хаусдорфа $H_{\alpha }$ на евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$ инвариантна относительно постоянных возмущений ортогональных операторов.

Приведите прямое доказательство того, что если $I$ — нетривиальный интервал в $\mathbb {R}^{n}$, то $H_{n}(I) > 0$.

Покажите, что в любом метрическом пространстве $H_{0}$ является считающей мерой.

Пусть $[a, b]$ — замкнутый ограниченный интервал на множестве вещественных чисел, и рассмотрим подмножество плоскости, определённое как $\mathbb {R} = \left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2} \mid a \leq x \leq b, y = 0\right\}$. Покажите, что $H_{2}(R) = 0$. Затем покажите, что $H_{1}(R) = b-a$. Сделайте вывод, что хаусдорфова размерность $\mathbb {R}$ равна 1.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная ограниченная функция на замкнутом ограниченном интервале $[a, b]$, имеющая непрерывную ограниченную производную на открытом интервале ($a, b$). Рассмотрим график $G$ функции $f$ как подмножество плоскости. Покажите, что $H_{1}(G) = \int_{a}^{b} \sqrt{1+\left|f^{\prime }(x)\right|^{2}} d x$.

Пусть $J$ — интервал в $\mathbb {R}^{n}$, каждая сторона которого имеет длину 1. Определим $\gamma_{n} = H_{n}(J)$. Покажите, что если $I$ — произвольный ограниченный интервал в $\mathbb {R}^{n}$, то $H_{n}(I) = \gamma_{n} \cdot \mu_{n}(I)$. Сделайте из этого вывод, используя утверждение единственности из теоремы Каратеодори-Хана, что $H_{n} = \gamma_{n} \cdot \mu_{n}$ на борелевских подмножествах $\mathbb {R}^{n}$.

Покажите, что разность двух мер, одна из которых конечна, является знакопеременной мерой.

Покажите, что разложение Хана может быть не единственным.

Пусть $\mu$ — мера, а $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ — взаимно сингулярные меры на $\sigma$-алгебре $\mathcal{M}$, для которых $\mu = \mu_{1}-\mu_{2}$. Покажите, что $\mu_{2} = 0$. Используйте это для установления единственности разложения Жордана.

Покажите, что если $\nu_{1}$ и $\nu_{2}$ — произвольные конечные знакопеременные меры, то для любых $\alpha$ и $\beta$ таковой же является и $\alpha \nu_{1}+\beta \nu_{2}$. Покажите, что

где $\nu \leq \mu$ означает, что $\nu (E) \leq \mu (E)$ для всех измеримых множеств $E$.

Пусть $\mu$ и $\nu$ — конечные знакопеременные меры. Определим $\mu \wedge \nu = \frac{1}{2}(\mu +\nu -\left|\mu -\nu \right|)$ и $\mu \vee \nu = \mu +\nu -\mu \wedge \nu$.