Борелевские меры на $\reals[n]$ и регулярность

Докажите неравенство (18).

Для конечной меры $\mu$ на $\mathcal{B}(\mathbb {R})$ определим $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, полагая $g(x) = \mu (-\infty , x]$. Покажите, что каждая ограниченная возрастающая функция $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, непрерывная справа и такая, что $\lim_{x \rightarrow -\infty } g(x) = 0$, является функцией распределения единственной конечной борелевской меры на $\mathcal{B}(\mathbb {R})$.

Покажите, что каждое замкнутое подмножество $\mathbb {R}^{n}$ является множеством типа $G_{\delta }$, а каждое открытое подмножество $\mathbb {R}^{n}$ является множеством типа $F_{\sigma }$.

Покажите, что теорема 24 может не выполняться, если $\mu \left(\mathbb {R}^{n}\right) = \infty$.

Теорема 24: Каждая конечная борелевская мера $\mu : \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right) \rightarrow [0, \infty )$ регулярна, то есть для каждого $\epsilon > 0$ и каждого множества $E \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ существуют компактное множество $K$ и открытое множество $O$, для которых $K \subseteq E \subseteq O$, $\mu (E \sim K) < \epsilon$ и $\mu (O \sim E) < \epsilon$.

Покажите, что регулярность меры Лебега на $\mathbb {R}^{n}$ является следствием теоремы 24.

Теорема 24: Каждая конечная борелевская мера $\mu : \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right) \rightarrow [0, \infty )$ регулярна, то есть для каждого $\epsilon > 0$ и каждого множества $E \in \mathscr {B}\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ существуют компактное множество $K$ и открытое множество $O$, для которых $K \subseteq E \subseteq O$, $\mu (E \sim K) < \epsilon$ и $\mu (O \sim E) < \epsilon$.