Мера Лебега на евклидовом пространстве

Покажите, что неравенство Коши-Шварца является равенством тогда и только тогда, когда точки линейно зависимы.

Проверьте следующее обобщение теоремы Пифагора, называемое законом параллелограмма:

Для $1 \leq p \leq \infty$ определим норму $\left\| \cdot \right\|_{p}$ на $\mathbb {R}^{n}$ и докажите неравенства Гёльдера и Минковского. Покажите, что для всех $1 \leq \alpha , \beta \leq \infty$ существует константа $c = c(\alpha , \beta )$, для которой

Покажите, что в лемме Урысона, если $A$ не компактно, может не существовать компактно поддерживаемой разделяющей функции $f$.

Покажите, что внешняя мера Лебега на $\mathbb {R}$ изменится, если, следуя Жордану, ограничить счётные покрытия конечными.

Для куба $Q \subseteq \mathbb {R}^{3}$ с каждой стороной $[0,1]$ пусть $Q$ является дизъюнктным объединением $k$ интервалов. Докажите аддитивность объёма для этого разбиения, не используя лемму 1.

Пусть $A$ и $B$ — подмножества $\mathbb {R}^{n}$, для которых существует $c > 0$, такое что $\left\| u-v\right\| \geq c$ для всех $u \in A, v \in B$. Покажите, что

Докажите, что $\mathcal{L}^{n}$ является наименьшей $\sigma$-алгеброй, содержащей все борелевские множества и все множества лебеговой меры нуль.

Если $E \in \mathcal{L}^{n}$ и $\epsilon > 0$, существует ли компактное множество $F$, такое что $F \subseteq E$ и $\mu_{n}(E \sim F) < \epsilon$?

Пусть $E$ — произвольное множество действительных чисел. Покажите, что $E \times \mathbb {Q}$ является лебегово измеримым подмножеством $\mathbb {R}^{2}$ независимо от лебеговой измеримости $E \subseteq \mathbb {R}$.

Покажите, что если отображение $\mathcal{N}: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ непрерывно и отображает множества лебеговой меры нуль во множества лебеговой меры нуль, то оно отображает лебегово измеримые множества в лебегово измеримые множества.

Рассмотрим треугольник $\Delta = \left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2} \mid 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq [b / a] x\right\}$. Покрывая $\Delta$ конечными семействами прямоугольников и используя непрерывность меры, определите лебегову меру $\Delta$.

Пусть $[a, b]$ — замкнутый ограниченный интервал. Предположим, что $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ ограничена и лебегово измерима. Покажите, что график $f$ имеет меру нуль относительно лебеговой меры на плоскости. Обобщите это на ограниченные действительнозначные измеримые функции нескольких действительных переменных.