10.5

Знакопеременные меры: разложения Хана и Жордана

[5/0%]
LaTeX
Задача 10.41

Покажите, что разность двух мер, одна из которых конечна, является знакопеременной мерой.

?
Задача 10.42

Покажите, что разложение Хана может быть не единственным.

?
Задача 10.43

Пусть μ\mu — мера, а μ1\mu_{1} и μ2\mu_{2} — взаимно сингулярные меры на σ\sigma-алгебре M\mathcal{M}, для которых μ=μ1−μ2\mu = \mu_{1}-\mu_{2}. Покажите, что μ2=0\mu_{2} = 0. Используйте это для установления единственности разложения Жордана.

?
Задача 10.44

Покажите, что если ν1\nu_{1} и ν2\nu_{2} — произвольные конечные знакопеременные меры, то для любых α\alpha и β\beta таковой же является и αν1+βν2\alpha \nu_{1}+\beta \nu_{2}. Покажите, что

∣αν∣=∣α∣∣ν∣ и ∣ν1+ν2∣≤∣ν1∣+∣ν2∣,  \left|\alpha \nu \right| = \left|\alpha \right|\left|\nu \right| \text{ и }\left|\nu _{1}+\nu _{2}\right| \leq \left|\nu _{1}\right|+\left|\nu _{2}\right| \text{, }

где ν≤μ\nu \leq \mu означает, что ν(E)≤μ(E)\nu (E) \leq \mu (E) для всех измеримых множеств EE.

?
Задача 10.45

Пусть μ\mu и ν\nu — конечные знакопеременные меры. Определим μ∧ν=12(μ+ν−∣μ−ν∣)\mu \wedge \nu = \frac{1}{2}(\mu +\nu -\left|\mu -\nu \right|) и μ∨ν=μ+ν−μ∧ν\mu \vee \nu = \mu +\nu -\mu \wedge \nu.

?
(i)

Покажите, что знакопеременная мера μ∧ν\mu \wedge \nu меньше μ\mu и ν\nu, но больше любой другой знакопеременной меры, меньшей μ\mu и ν\nu.

(ii)

Покажите, что знакопеременная мера μ∨ν\mu \vee \nu больше μ\mu и ν\nu, но меньше любой другой меры, большей μ\mu и ν\nu.

(iii)

Если μ\mu и ν\nu — положительные меры, покажите, что они взаимно сингулярны тогда и только тогда, когда μ∧ν=0\mu \wedge \nu = 0.