Измеримость по Лебегу и мера образов отображений

Покажите, что непрерывно дифференцируемое отображение $\mathcal{N}: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ может не быть липшицевым, но его сужение на каждое замкнутое ограниченное множество липшицево.

Для линейного оператора сравните оценку (6) с фактической мерой.

Пусть $R \subseteq \mathbb {R}^{n}$ — ограниченный прямоугольник, и $\epsilon > 0$. Покажите, что существует конечное покрытие $R$ кубами, сумма объёмов которых меньше $\operatorname {vol}(R)+\epsilon$. Выведите отсюда, что внешняя мера Лебега на $\mathbb {R}^{n}$ не изменяется, если покрытия интервалами заменить покрытиями кубами.

Покажите, что каждое открытое подмножество $\mathbb {R}^{n}$ является множеством типа $F_{\sigma }$.

Покажите, что открытое ограниченное подмножество плоскости $(0,1) \times (0,1)$ не является объединением счётного дизъюнктного семейства открытых шаров в $\mathbb {R}^{2}$. Противоречит ли это теореме Витали о разбиении?

Покажите, что при $n = 1$ константу $C$ в (6) нельзя улучшить.

Покажите, что неравенство Коши-Шварца является равенством тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ линейно зависимы. Используйте это, чтобы показать, что $\left\| L\right\|$ является наименьшей липшицевой константой для линейного оператора $L: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$.

Пара точек в $\mathbb {R}^{n}$ называется ортогональной, если их скалярное произведение равно нулю. Множество $\left\{ v_{1}, \ldots v_{n}\right\} \subseteq \mathbb {R}^{n}$ называется ортонормированным базисом $\mathbb {R}^{n}$, если каждая пара точек множества ортогональна, и каждая точка имеет норму 1. Для линейного оператора $L: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ докажите равносильность следующих утверждений:

Покажите, что в $\mathbb {R}^{3}$ следствие 22 сводится к формуле смешанного произведения для объёма.

Для $\left\{ z_{1}, \ldots , z_{n}\right\} \subseteq \mathbb {R}^{n}$ пусть $P(z_{1}, \ldots , z_{n})$ обозначает параллелепипед, состоящий из точек $\sum_{i=1}^{n} x_{i} \cdot z_{i}$ с коэффициентами $0 \leq x_{i} \leq 1$, и пусть $\det (z_{1}, \ldots , z_{n})$ — определитель матрицы $n \times n$, $i$-й столбец которой есть $z_{i}$. Следствие 22: Для $\left\{ z_{1}, \ldots , z_{n}\right\} \subseteq \mathbb {R}^{n}$, $\mu_{n}(P(z_{1}, \ldots , z_{n})) = \left|\det (z_{1}, \ldots , z_{n})\right|$.

Докажите, что для любого открытого покрытия замкнутого ограниченного подмножества $\mathbb {R}^{n}$ существует $\alpha > 0$ (называемое числом Лебега покрытия), такое что каждый шар с центром в $K$ и радиусом $\alpha$ содержится в одном из покрывающих множеств.

Совокупность обратимых линейных операторов на $\mathbb {R}^{n}$ называется полной линейной группой и обозначается $G L(n)$; совокупность ортогональных операторов обозначается $\mathcal{O}(n)$ и называется ортогональной группой. Покажите, что относительно операции композиции $G L(n)$ является группой, имеющей $\mathcal{O}(n)$ в качестве подгруппы.