Внешние меры Каратеодори и меры Хаусдорфа

Непосредственно из определения внешней меры Лебега покажите, что если $A$ и $B$ — подмножества $\mathbb {R}^{n}$, и существует $\delta > 0$, для которого $\left\| u-v\right\| \geq \delta$ для всех $u \in A$ и $v \in B$, то

Покажите, что в определении меры Хаусдорфа можно брать покрытия открытыми множествами или замкнутыми множествами.

Покажите, что функция множества — внешняя мера Хаусдорфа $H_{\alpha }^{*}$ — счётно монотонна.

На плоскости $\mathbb {R}^{2}$ покажите, что ограниченное множество можно заключить в шар того же диаметра. Используйте это, чтобы показать, что для ограниченного подмножества $A$ плоскости $\mathbb {R}^{2}$, $H_{2}(A) \geq 4 / \pi \cdot \mu_{2}(A)$, где $\mu_{2}$ — мера Лебега на $\mathbb {R}^{2}$.

Пусть ($X, \rho$) — метрическое пространство, и $\alpha > 0$. Для $E \subseteq X$ определим

где $\left\{ A_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — счётное семейство подмножеств $X$, покрывающих $E$: никаких ограничений на диаметры множеств покрытия не накладывается. Сравните функции множества $H_{\alpha }^{\prime }$ и $H_{\alpha }$.

Покажите, что каждая мера Хаусдорфа $H_{\alpha }$ на евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$ инвариантна относительно постоянных возмущений ортогональных операторов.

Приведите прямое доказательство того, что если $I$ — нетривиальный интервал в $\mathbb {R}^{n}$, то $H_{n}(I) > 0$.

Покажите, что в любом метрическом пространстве $H_{0}$ является считающей мерой.

Пусть $[a, b]$ — замкнутый ограниченный интервал на множестве вещественных чисел, и рассмотрим подмножество плоскости, определённое как $\mathbb {R} = \left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2} \mid a \leq x \leq b, y = 0\right\}$. Покажите, что $H_{2}(R) = 0$. Затем покажите, что $H_{1}(R) = b-a$. Сделайте вывод, что хаусдорфова размерность $\mathbb {R}$ равна 1.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная ограниченная функция на замкнутом ограниченном интервале $[a, b]$, имеющая непрерывную ограниченную производную на открытом интервале ($a, b$). Рассмотрим график $G$ функции $f$ как подмножество плоскости. Покажите, что $H_{1}(G) = \int_{a}^{b} \sqrt{1+\left|f^{\prime }(x)\right|^{2}} d x$.

Пусть $J$ — интервал в $\mathbb {R}^{n}$, каждая сторона которого имеет длину 1. Определим $\gamma_{n} = H_{n}(J)$. Покажите, что если $I$ — произвольный ограниченный интервал в $\mathbb {R}^{n}$, то $H_{n}(I) = \gamma_{n} \cdot \mu_{n}(I)$. Сделайте из этого вывод, используя утверждение единственности из теоремы Каратеодори-Хана, что $H_{n} = \gamma_{n} \cdot \mu_{n}$ на борелевских подмножествах $\mathbb {R}^{n}$.