Вещественные числа: множества, последовательности и функции

Для $a \neq 0$ и $b \neq 0$ покажите, что $(a b)^{-1} = a^{-1} b^{-1}$.

Проверьте следующее:

Для непустого множества вещественных чисел $E$ покажите, что $\inf E = \sup E$ тогда и только тогда, когда $E$ состоит из единственной точки.

Пусть $a$ и $b$ — вещественные числа.

Используя аксиому полноты, покажите, что каждое непустое множество вещественных чисел, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю грань и что

Для вещественных чисел $a$ и $b$ убедитесь в следующем:

Используя индукцию, покажите, что для каждого натурального числа $n$ интервал ($n, n+1$) не содержит ни одного натурального числа.

Используя индукцию, покажите, что если $n > 1$ — натуральное число, то $n-1$ также является натуральным числом. Затем, используя другую индукцию, покажите, что если $m$ и $n$ — натуральные числа, причём $n > m$, то $n-m$ является натуральным числом.

Покажите, что для любого вещественного числа $r$ в интервале $[r, r+1)$ содержится ровно одно целое число.

Покажите, что любое непустое множество целых чисел, ограниченное сверху, имеет наибольший элемент.

Покажите, что иррациональные числа плотны в $\mathbb {R}$.

Покажите, что каждое вещественное число является точной верхней гранью некоторого множества рациональных чисел, а также точной верхней гранью некоторого множества иррациональных чисел.

Покажите, что если $r > 0$, то для каждого натурального числа $n,(1+r)^{n} \geq 1+n \cdot r$.

Используя индукцию, докажите, что для каждого натурального числа $n$

Покажите, что множество $\mathbb {Z}$ целых чисел счётно.

Покажите, что множество $A$ счётно тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное отображение $A$ в $\mathbb {N}$.

Используя индукцию, завершите доказательство пункта (i) следствия 4.

Следствие 4(i): Для каждого натурального числа $n$ декартово произведение $\mathbb {N} \times \cdots \times \mathbb {N}$ ($n$ раз) счётно бесконечно. Приведённое доказательство устанавливает это только для $n = 2$, используя взаимно однозначное отображение $g: \mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$, определённое формулой $g(m, n) = (m+n)^{2}+n$.

Докажите следствие 6 для случая конечного семейства счётных множеств.

Следствие 6: Объединение счётной совокупности счётных множеств счётно.

Пусть $f: A \rightarrow B$ и $g: B \rightarrow C$ — взаимно однозначные и сюръективные отображения. Покажите, что композиция $g \circ f: A \rightarrow B$ и обратное отображение $f^{-1}: B \rightarrow A$ также взаимно однозначны и сюръективны.

Используя индукцию, установите принцип Дирихле (принцип ящиков).

Покажите, что $2^{\mathrm{N}}$, совокупность всех множеств натуральных чисел, несчётно.

Покажите, что декартово произведение конечной совокупности счётных множеств счётно. Используя предыдущую задачу, покажите, что $\mathbb {N}^{\mathbb {N}}$, совокупность всех отображений $\mathbb {N}$ в $\mathbb {N}$, несчётна.

Покажите, что невырожденный интервал вещественных чисел не является конечным.

Покажите, что любые два невырожденных интервала вещественных чисел равномощны.

Равномощно ли множество $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ множеству $\mathbb {R}$?

Является ли множество рациональных чисел открытым или замкнутым?

Какие множества вещественных чисел являются одновременно открытыми и замкнутыми?

Найдите два множества $A$ и $B$, такие что $A \cap B = \emptyset$ и $\bar{A} \cap \bar{B} \neq \emptyset$.

Точка $x$ называется предельной точкой множества $E$, если она является точкой прикосновения множества $E \sim \left\{ x\right\}$.

Точка $x$ называется изолированной точкой множества $E$, если существует такое $r > 0$, что $(x-r, x+r) \cap E = \left\{ x\right\}$. Покажите, что если множество $E$ состоит из изолированных точек, то оно счётно.

Точка $x$ называется внутренней точкой множества $E$, если существует такое $r > 0$, что открытый интервал ($x-r, x+r$) содержится в $E$. Множество внутренних точек множества $E$ называется внутренностью множества $E$ и обозначается int $E$. Покажите, что

Покажите, что теорема о вложенных множествах неверна, если $F_{1}$ неограничено.

Покажите, что утверждение теоремы Гейне–Бореля равносильно аксиоме полноты для вещественных чисел. Покажите, что утверждение теоремы о вложенных множествах равносильно аксиоме полноты для вещественных чисел.

Покажите, что совокупность борелевских множеств является наименьшей $\sigma$-алгеброй, содержащей замкнутые множества.

Покажите, что совокупность борелевских множеств является наименьшей $\sigma$-алгеброй, содержащей интервалы вида $[a, b)$, где $a < b$.

Покажите, что каждое открытое множество является множеством типа $F_{\sigma }$.

Назовём расширенное вещественное число предельной точкой последовательности $\left\{ a_{n}\right\}$, если некоторая подпоследовательность сходится к этому расширенному вещественному числу. Покажите, что $\liminf \left\{ a_{n}\right\}$ является наименьшей предельной точкой последовательности $\left\{ a_{n}\right\}$, а $\limsup \left\{ a_{n}\right\}$ — наибольшей предельной точкой последовательности $\left\{ a_{n}\right\}$.

Докажите предложение 19.

Предложение 19: Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ и $\left\{ b_{n}\right\}$ — последовательности вещественных чисел.

1. $\limsup \left\{ a_{n}\right\} = \ell \in \mathbb {R}$ тогда и только тогда, когда для каждого $\epsilon > 0$ существует бесконечно много индексов $n$, для которых $a_{n} > \ell - \epsilon$, и лишь конечное число индексов $n$, для которых $a_{n} > \ell + \epsilon$.

2. $\limsup \left\{ a_{n}\right\} = \infty$ тогда и только тогда, когда $\left\{ a_{n}\right\}$ не ограничена сверху.

3. $\limsup \left\{ a_{n}\right\} = -\liminf \left\{ -a_{n}\right\}$.

4. Последовательность вещественных чисел $\left\{ a_{n}\right\}$ сходится к расширенному вещественному числу $a$ тогда и только тогда, когда $\liminf \left\{ a_{n}\right\} = \limsup \left\{ a_{n}\right\} = a$.

5. Если $a_{n} \leq b_{n}$ для всех $n$, то $\limsup \left\{ a_{n}\right\} \leq \limsup \left\{ b_{n}\right\}$.

Покажите, что последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ сходится к расширенному вещественному числу тогда и только тогда, когда существует ровно одно расширенное вещественное число, являющееся предельной точкой этой последовательности.

Покажите, что $\liminf a_{n} \leq \limsup a_{n}$.

Докажите, что если для всех $n$ выполнено $a_{n} \geq 0$ и $b_{n} \geq 0$, то

при условии, что произведение в правой части не имеет вида $0 \cdot \infty$.

Покажите, что каждая вещественная последовательность имеет монотонную подпоследовательность. Используя это, приведите ещё одно доказательство теоремы Больцано–Вейерштрасса.

Пусть $p$ — натуральное число, большее 1, а $x$ — вещественное число, $0 \leq x \leq 1$. Покажите, что существует последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ целых чисел с $0 \leq a_{n} < p$ для каждого $n$, такая что

и что эта последовательность единственна, за исключением случая, когда $x$ имеет вид $q / p^{n}, 0 < q < p^{n}$, и тогда существует ровно две такие последовательности. Покажите, что, обратно, если $\left\{ a_{n}\right\}$ — произвольная последовательность целых чисел с $0 \leq a_{n} < p$, то ряд

сходится к вещественному числу $x$ с $0 \leq x \leq 1$. Если $p = 10$, эта последовательность называется десятичным разложением числа $x$. При $p = 2$ она называется двоичным разложением, а при $p = 3$ — троичным разложением.

Докажите предложение 20.

Предложение 20: Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ — последовательность вещественных чисел.

1. Ряд $\sum_{k=1}^{\infty } a_{k}$ суммируем тогда и только тогда, когда для каждого $\epsilon > 0$ существует индекс $N$, для которого $\left|\sum_{k=n}^{n+m} a_{k}\right| < \epsilon$ при $n \geq N$ и любом натуральном числе $m$.

2. Если ряд $\sum_{k=1}^{\infty } \left|a_{k}\right|$ суммируем, то $\sum_{k=1}^{\infty } a_{k}$ также суммируем.

3. Если каждый член $a_{k}$ неотрицателен, то ряд $\sum_{k=1}^{\infty } a_{k}$ суммируем тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм ограничена.

Покажите, что утверждение теоремы Больцано–Вейерштрасса равносильно аксиоме полноты для вещественных чисел. Покажите, что утверждение теоремы о монотонной сходимости равносильно аксиоме полноты для вещественных чисел.

Пусть $E$ — замкнутое множество вещественных чисел, а $f$ — вещественнозначная функция, определённая и непрерывная на $E$. Покажите, что существует функция $g$, определённая и непрерывная на всём $\mathbb {R}$, такая что $f(x) = g(x)$ для каждого $x \in E$.

Определим вещественнозначную функцию $f$ на $\mathbb {R}$, положив

В каких точках $f$ непрерывна?

Пусть $f$ и $g$ — непрерывные вещественнозначные функции с общей областью определения $E$.

Покажите, что липшицева функция равномерно непрерывна, но существуют равномерно непрерывные функции, не являющиеся липшицевыми.

Непрерывная функция $\varphi$ на $[a, b]$ называется кусочно линейной, если существует разбиение $a = x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} = b$ отрезка $[a, b]$, для которого $\varphi$ линейна на каждом интервале $\left[x_{i}, x_{i+1}\right]$. Пусть $f$ — непрерывная функция на $[a, b]$, а $\epsilon$ — положительное число. Покажите, что существует кусочно линейная функция $\varphi$ на $[a, b]$, для которой $\left|f(x)-\varphi (x)\right| < \epsilon$ при всех $x \in [a, b]$.

Покажите, что непустое множество $E$ вещественных чисел замкнуто и ограничено тогда и только тогда, когда каждая непрерывная вещественнозначная функция на $E$ принимает максимальное значение.

Покажите, что множество $E$ вещественных чисел замкнуто и ограничено тогда и только тогда, когда каждое открытое покрытие множества $E$ имеет конечное подпокрытие.

Покажите, что непустое множество $E$ вещественных чисел является интервалом тогда и только тогда, когда образ каждой непрерывной вещественнозначной функции на $E$ является интервалом.

Покажите, что монотонная функция на открытом интервале непрерывна тогда и только тогда, когда её образ является интервалом.

Пусть $f$ — вещественнозначная функция, определённая на $\mathbb {R}$. Покажите, что множество точек, в которых $f$ непрерывна, является множеством типа $G_{\delta }$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность непрерывных функций, определённых на $\mathbb {R}$. Покажите, что множество точек $x$, в которых последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$ сходится к вещественному числу, является пересечением счётной совокупности множеств типа $F_{\sigma }$.

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $\mathbb {R}$. Покажите, что прообраз относительно $f$ открытого множества открыт, прообраз замкнутого множества замкнут, а прообраз борелевского множества является борелевским.

Говорят, что последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ вещественнозначных функций, определённых на множестве $E$, равномерно сходится на $E$ к функции $f$, если для данного $\epsilon > 0$ существует такое $N$, что для всех $x \in E$ и всех $n \geq N$ выполнено $\left|f_{n}(x)-f(x)\right| < \epsilon$. Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность непрерывных функций, определённых на множестве $E$. Докажите, что если $\left\{ f_{n}\right\}$ равномерно сходится к $f$ на $E$, то $f$ непрерывна на $E$.