Непрерывные вещественнозначные функции вещественной переменной

Пусть $E$ — замкнутое множество вещественных чисел, а $f$ — вещественнозначная функция, определённая и непрерывная на $E$. Покажите, что существует функция $g$, определённая и непрерывная на всём $\mathbb {R}$, такая что $f(x) = g(x)$ для каждого $x \in E$.

Определим вещественнозначную функцию $f$ на $\mathbb {R}$, положив

В каких точках $f$ непрерывна?

Пусть $f$ и $g$ — непрерывные вещественнозначные функции с общей областью определения $E$.

Покажите, что липшицева функция равномерно непрерывна, но существуют равномерно непрерывные функции, не являющиеся липшицевыми.

Непрерывная функция $\varphi$ на $[a, b]$ называется кусочно линейной, если существует разбиение $a = x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} = b$ отрезка $[a, b]$, для которого $\varphi$ линейна на каждом интервале $\left[x_{i}, x_{i+1}\right]$. Пусть $f$ — непрерывная функция на $[a, b]$, а $\epsilon$ — положительное число. Покажите, что существует кусочно линейная функция $\varphi$ на $[a, b]$, для которой $\left|f(x)-\varphi (x)\right| < \epsilon$ при всех $x \in [a, b]$.

Покажите, что непустое множество $E$ вещественных чисел замкнуто и ограничено тогда и только тогда, когда каждая непрерывная вещественнозначная функция на $E$ принимает максимальное значение.

Покажите, что множество $E$ вещественных чисел замкнуто и ограничено тогда и только тогда, когда каждое открытое покрытие множества $E$ имеет конечное подпокрытие.

Покажите, что непустое множество $E$ вещественных чисел является интервалом тогда и только тогда, когда образ каждой непрерывной вещественнозначной функции на $E$ является интервалом.

Покажите, что монотонная функция на открытом интервале непрерывна тогда и только тогда, когда её образ является интервалом.

Пусть $f$ — вещественнозначная функция, определённая на $\mathbb {R}$. Покажите, что множество точек, в которых $f$ непрерывна, является множеством типа $G_{\delta }$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность непрерывных функций, определённых на $\mathbb {R}$. Покажите, что множество точек $x$, в которых последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$ сходится к вещественному числу, является пересечением счётной совокупности множеств типа $F_{\sigma }$.

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $\mathbb {R}$. Покажите, что прообраз относительно $f$ открытого множества открыт, прообраз замкнутого множества замкнут, а прообраз борелевского множества является борелевским.

Говорят, что последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ вещественнозначных функций, определённых на множестве $E$, равномерно сходится на $E$ к функции $f$, если для данного $\epsilon > 0$ существует такое $N$, что для всех $x \in E$ и всех $n \geq N$ выполнено $\left|f_{n}(x)-f(x)\right| < \epsilon$. Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность непрерывных функций, определённых на множестве $E$. Докажите, что если $\left\{ f_{n}\right\}$ равномерно сходится к $f$ на $E$, то $f$ непрерывна на $E$.