Счётные и несчётные множества

Покажите, что множество $\mathbb {Z}$ целых чисел счётно.

Покажите, что множество $A$ счётно тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное отображение $A$ в $\mathbb {N}$.

Используя индукцию, завершите доказательство пункта (i) следствия 4.

Следствие 4(i): Для каждого натурального числа $n$ декартово произведение $\mathbb {N} \times \cdots \times \mathbb {N}$ ($n$ раз) счётно бесконечно. Приведённое доказательство устанавливает это только для $n = 2$, используя взаимно однозначное отображение $g: \mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$, определённое формулой $g(m, n) = (m+n)^{2}+n$.

Докажите следствие 6 для случая конечного семейства счётных множеств.

Следствие 6: Объединение счётной совокупности счётных множеств счётно.

Пусть $f: A \rightarrow B$ и $g: B \rightarrow C$ — взаимно однозначные и сюръективные отображения. Покажите, что композиция $g \circ f: A \rightarrow B$ и обратное отображение $f^{-1}: B \rightarrow A$ также взаимно однозначны и сюръективны.

Используя индукцию, установите принцип Дирихле (принцип ящиков).

Покажите, что $2^{\mathrm{N}}$, совокупность всех множеств натуральных чисел, несчётно.

Покажите, что декартово произведение конечной совокупности счётных множеств счётно. Используя предыдущую задачу, покажите, что $\mathbb {N}^{\mathbb {N}}$, совокупность всех отображений $\mathbb {N}$ в $\mathbb {N}$, несчётна.

Покажите, что невырожденный интервал вещественных чисел не является конечным.

Покажите, что любые два невырожденных интервала вещественных чисел равномощны.

Равномощно ли множество $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ множеству $\mathbb {R}$?