Натуральные и рациональные числа

Используя индукцию, покажите, что для каждого натурального числа $n$ интервал ($n, n+1$) не содержит ни одного натурального числа.

Используя индукцию, покажите, что если $n > 1$ — натуральное число, то $n-1$ также является натуральным числом. Затем, используя другую индукцию, покажите, что если $m$ и $n$ — натуральные числа, причём $n > m$, то $n-m$ является натуральным числом.

Покажите, что для любого вещественного числа $r$ в интервале $[r, r+1)$ содержится ровно одно целое число.

Покажите, что любое непустое множество целых чисел, ограниченное сверху, имеет наибольший элемент.

Покажите, что иррациональные числа плотны в $\mathbb {R}$.

Покажите, что каждое вещественное число является точной верхней гранью некоторого множества рациональных чисел, а также точной верхней гранью некоторого множества иррациональных чисел.

Покажите, что если $r > 0$, то для каждого натурального числа $n,(1+r)^{n} \geq 1+n \cdot r$.

Используя индукцию, докажите, что для каждого натурального числа $n$