Последовательности вещественных чисел

Назовём расширенное вещественное число предельной точкой последовательности $\left\{ a_{n}\right\}$, если некоторая подпоследовательность сходится к этому расширенному вещественному числу. Покажите, что $\liminf \left\{ a_{n}\right\}$ является наименьшей предельной точкой последовательности $\left\{ a_{n}\right\}$, а $\limsup \left\{ a_{n}\right\}$ — наибольшей предельной точкой последовательности $\left\{ a_{n}\right\}$.

Докажите предложение 19.

Предложение 19: Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ и $\left\{ b_{n}\right\}$ — последовательности вещественных чисел.

1. $\limsup \left\{ a_{n}\right\} = \ell \in \mathbb {R}$ тогда и только тогда, когда для каждого $\epsilon > 0$ существует бесконечно много индексов $n$, для которых $a_{n} > \ell - \epsilon$, и лишь конечное число индексов $n$, для которых $a_{n} > \ell + \epsilon$.

2. $\limsup \left\{ a_{n}\right\} = \infty$ тогда и только тогда, когда $\left\{ a_{n}\right\}$ не ограничена сверху.

3. $\limsup \left\{ a_{n}\right\} = -\liminf \left\{ -a_{n}\right\}$.

4. Последовательность вещественных чисел $\left\{ a_{n}\right\}$ сходится к расширенному вещественному числу $a$ тогда и только тогда, когда $\liminf \left\{ a_{n}\right\} = \limsup \left\{ a_{n}\right\} = a$.

5. Если $a_{n} \leq b_{n}$ для всех $n$, то $\limsup \left\{ a_{n}\right\} \leq \limsup \left\{ b_{n}\right\}$.

Покажите, что последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ сходится к расширенному вещественному числу тогда и только тогда, когда существует ровно одно расширенное вещественное число, являющееся предельной точкой этой последовательности.

Покажите, что $\liminf a_{n} \leq \limsup a_{n}$.

Докажите, что если для всех $n$ выполнено $a_{n} \geq 0$ и $b_{n} \geq 0$, то

при условии, что произведение в правой части не имеет вида $0 \cdot \infty$.

Покажите, что каждая вещественная последовательность имеет монотонную подпоследовательность. Используя это, приведите ещё одно доказательство теоремы Больцано–Вейерштрасса.

Пусть $p$ — натуральное число, большее 1, а $x$ — вещественное число, $0 \leq x \leq 1$. Покажите, что существует последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ целых чисел с $0 \leq a_{n} < p$ для каждого $n$, такая что

и что эта последовательность единственна, за исключением случая, когда $x$ имеет вид $q / p^{n}, 0 < q < p^{n}$, и тогда существует ровно две такие последовательности. Покажите, что, обратно, если $\left\{ a_{n}\right\}$ — произвольная последовательность целых чисел с $0 \leq a_{n} < p$, то ряд

сходится к вещественному числу $x$ с $0 \leq x \leq 1$. Если $p = 10$, эта последовательность называется десятичным разложением числа $x$. При $p = 2$ она называется двоичным разложением, а при $p = 3$ — троичным разложением.

Докажите предложение 20.

Предложение 20: Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ — последовательность вещественных чисел.

1. Ряд $\sum_{k=1}^{\infty } a_{k}$ суммируем тогда и только тогда, когда для каждого $\epsilon > 0$ существует индекс $N$, для которого $\left|\sum_{k=n}^{n+m} a_{k}\right| < \epsilon$ при $n \geq N$ и любом натуральном числе $m$.

2. Если ряд $\sum_{k=1}^{\infty } \left|a_{k}\right|$ суммируем, то $\sum_{k=1}^{\infty } a_{k}$ также суммируем.

3. Если каждый член $a_{k}$ неотрицателен, то ряд $\sum_{k=1}^{\infty } a_{k}$ суммируем тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм ограничена.

Покажите, что утверждение теоремы Больцано–Вейерштрасса равносильно аксиоме полноты для вещественных чисел. Покажите, что утверждение теоремы о монотонной сходимости равносильно аксиоме полноты для вещественных чисел.