Открытые, замкнутые и борелевские множества вещественных чисел

Является ли множество рациональных чисел открытым или замкнутым?

Какие множества вещественных чисел являются одновременно открытыми и замкнутыми?

Найдите два множества $A$ и $B$, такие что $A \cap B = \emptyset$ и $\bar{A} \cap \bar{B} \neq \emptyset$.

Точка $x$ называется предельной точкой множества $E$, если она является точкой прикосновения множества $E \sim \left\{ x\right\}$.

Точка $x$ называется изолированной точкой множества $E$, если существует такое $r > 0$, что $(x-r, x+r) \cap E = \left\{ x\right\}$. Покажите, что если множество $E$ состоит из изолированных точек, то оно счётно.

Точка $x$ называется внутренней точкой множества $E$, если существует такое $r > 0$, что открытый интервал ($x-r, x+r$) содержится в $E$. Множество внутренних точек множества $E$ называется внутренностью множества $E$ и обозначается int $E$. Покажите, что

Покажите, что теорема о вложенных множествах неверна, если $F_{1}$ неограничено.

Покажите, что утверждение теоремы Гейне–Бореля равносильно аксиоме полноты для вещественных чисел. Покажите, что утверждение теоремы о вложенных множествах равносильно аксиоме полноты для вещественных чисел.

Покажите, что совокупность борелевских множеств является наименьшей $\sigma$-алгеброй, содержащей замкнутые множества.

Покажите, что совокупность борелевских множеств является наименьшей $\sigma$-алгеброй, содержащей интервалы вида $[a, b)$, где $a < b$.

Покажите, что каждое открытое множество является множеством типа $F_{\sigma }$.